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１次方程式の整数解
11で割ると10余り、9で割ると1余るような数をm,nを使って表すとき、 11m + 10 = 9n + 1 となる。 上記はとある問題集の解説にあった内容ですが、 このような結果になる理由がよく理解できません。 11で割ると10余る数ですと、 11/m + 10 9で割ると1余る数ですと、 9/m + 1 となる気がするのですが、、、、 どなたか理由を教えて頂けますでしょうか？
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整数の問題はほとんど高校の教科書で扱ってくれない割に 大学受験では頻出なので 勉強には苦労されると思います。 整数など 数学で抽象的な物事を扱う時には 簡単な例からやるといいと思います。 3で割って2余る数 というのは 2,5,8… と沢山ありますが これらに共通しているのは 2=3×0+2 5=3×1+2 8=3×2+2 ・ ・ ・ というように (割る数)×(ある整数)+(余り) といった関係が成立すると思います。 よって 11で割って10余る数は 10,21,32,… 10=11×0+10 21=11×1+10 32=11×2+10 ・ ・ ・ ここで0,1,2と変化している数をmとしたのが解説の式です。 同様にして 9で割ると1余る数は 1,10,19,28,… 1=9×0+1 10=9×1+1 19=9×2+1 28=9×3+1 ・ ・ ・ となり 0,1,2,3…となる数をnとしてやれば 求める数をxとしたとき x=11m+10 かつ x=9n+1 となりますよね？ >11/m + 10 これの意味がいまいち掴みかねるのですが ある数xを11「で」割る というのは x÷11=x/11 なので もしかしたらなにか勘違いなさっているかもしれませんね。
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>11で割ると10余り ....... N を「11で割ると10余り」の場合。 11 で割った商 (の整数部分) を m とします。 そうすれば、N = 11*m + 10 なんじゃありませんか？ 別の見方。 N から 10 を引いておけば 11 で割り切れるわけだから、 (N - 10)/11 = m これを変形して、 (N - 10) = 11*m N = 11*m + 10 行き止まりの迷路にはまったら、とりあえず引き返し、ほかの道をたどるのが定石。
- naniwacchi
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少し言葉を補って考えてみてはどうでしょうか？ ＞11で割ると10余り 「ある数を」という言葉を補ってみると ある数を11で割ると10余り となります。 この「ある数」は11の倍数に10足したものになるので、11m + 10という形に表すことができます。 ＞11/m + 10 これは「11を mで割ったものに10を加える」となります。 「を」と「で」というところがミソですね。
- proto
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あなたの言うとおりでしたら、 「11で割ると10余る数」 が 11/m+10 です。 では実際に、「11で割ると10余る数」である11/m+10を11で割ってみて余りが10になるかどうか確かめてみてください。 (11/m+10) ÷ 11 = ？ あとは、mに具体的に1,2,3,4,...を代入してみるとか 11/1+10 = 21 (←11で割ってみてください) 11/2+10 = そもそも整数にならない... 11/3+10 = そもそも整数にならない... 11/4+10 = そもそも整数にならない... 一方、11m+10は 11*1+10 = 21 (←11で割ってみてください) 11*2+10 = 32 (←11で割ってみてください) 11*3+10 = 43 (←11で割ってみてください) 11*4+10 = 54 (←11で割ってみてください)
