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整数問題
閲覧ありがとうございます。 問 1/m+1/n=1/35,m≦nとなる(m,n)をすべて求めよ。 どなたかお願いします。
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理解できない部分、疑問に思う部分を質問して回答を貰うのことは良いでしょう。ですが、あくまでも解くのはあなたであるはずです。 どなたかお願いします、では質問になっていない。 ここは宿題を解いてもらう場所ではないのですよ。 さて、まずはm,nの値の範囲を求めましょうか、 1/m+1/n = 1/35 1/m = 1/35-1/n 今回、m,nは明らかに正数だから左辺の1/mも正、よって 1/m = 1/35-1/n > 0 1/35-1/n > 0 これよりnの範囲がわかる、同様にmの範囲も分かる。 ここからが本題、 1/m+1/n = 1/35 左辺を通分して (n+m)/(mn) = 1/35 両辺の逆数をとって (mn)/(n+m) = 35 mn = 35(m+n) mn-35m-35n = 0 左辺をむりやり因数分解して (m-35)(n-35) -35^2 = 0 (m-35)(n-35) = 35^2 = 5*5*7*7 左辺は、(整数)*(整数)という形になっている、右辺を見ると左辺の積の形として考えられるのは (1) * (5*5*7*7) (5) * (5*7*7) (7) * (5*5*7) (5*5) * (7*7) (5*7) * (5*7) に限られる事が分かるだろう。 (m,nの範囲より(負の整数)*(負の整数)というパターンはありえない) 例えば、(5)*(5*7*7)のパターンを考えるならば m-35 = 5 n-35 = 5*7*7 = 245 より、m=40,n=280となる。 実際、 1/m+1/n = 1/40+1/280 = 1/35 となり条件を満たす。 全てのパターンで同じ事を繰り返せば、題意を満たす全てのm,nの組がわかる。
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- naniwacchi
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mとnはともに自然数でしょうか? 負の領域まで含めても、解けなくはないですが。 方針としては、分数の形を直すことから始めます。 具体的には、積の形に変形します。 xy-2x-3y=(x-3)(y-2)-6 と同様な変形をします。 あとは素因数分解を併用することで求められます。
- mister_moonlight
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計算が、面倒そう。。。。。w 分母を払うと、mn-35m-35n=0 → (m-35)*(n-35)=1225=7*7*5*5。 m≦nより、m-35≦n-35であるから、m-35=b、n-35=aとすると、a≧bでab=7*7*5*5を満たす整数値を求めると良い。 a>0、b>0の時は、(b、a)=(1、1225)、(5、245)、(7、175)、(25、49)、(35、35)。 これらが、実際に条件に適するか、確かめる。 但し、a<0、b<0の時もある事に注意。 実際の計算は自分でやって。
- unchikusai
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m=nなら、m=n=70で 1/70+1/70=2/70=1/35 m<n 1/210+1/42=1/210+5/210=6/210=1/35 他にもあるかもしれないが…
お礼
すみません。 これからは気をつけます。 回答のほうはわかりやすくて非常に助かりました! これからは他力本願の姿勢を改めます。