Abel群

質問

Gを群とするとき、もし任意のx∈Gに対して、x^2＝eが成り立てば、GはAbel群であるか？また、x^6＝eならAbel群であるか？という問題を考えています。

前半はなんとかできたという感じです。
前半は次のような証明を考えました。

Gの任意の元x,yをとる。
すると仮定から(xy)^2＝eだが
一方で、(xy)^2＝xyxyであるからxyxy＝eである。
すると
yx＝yxe＝(yx)(xyxy)＝y(x^2)yx＝yeyx＝(y^2)xy＝exy＝xy
よってAbel群■

後半も同じようにやろうとしましたが、前半のようにはうまくいかず、全くできません。本当にx^6＝e (∀x∈G)ならAbel群ですか？
前半がＡAbel群だと証明できてしまったので、後半はAbel群でないような気がします・・・。
もちろん反例がみつかればよいのですが、任意の元が6乗するとeになる群ってどんなものがあるでしょうか？想像がつきません。。。

簡単な質問かもしれませんが、どうか教えてください。

回答No.1

ur2c · ベストアンサー

> 任意の元が6乗するとeになる群ってどんなものがあるでしょうか？

たとえば、大きさが 6 の群はどうでしょう？

補足

ur2cさん、回答ありがとうございます。
大きさ6の群というと、3次対称群S_3がすぐ思いついたので、実際にS_3の元すべてを6乗するとすべてe(恒等置換)になりました。
しかも(2 3)(1 2)＝(1 3 2),(1 2)(2 3)＝(1 2 3)よりAbel群ではないという結果になりましたが・・・これであっているでしょうか？！

回答No.2

ur2c

わずかなヒントだったのに、すごいですね。S_3 は最小の非可換群です。小さい群をいじくってると、実感が湧きます。参考 URL をどうぞ。

「群の大きさ」と「ある元を何乗したら単位元になるか」は、どっちも位数と言います。同じ呼び方をするのは、両者に深い関係があるからです。それについては、たとえば
http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupCharacter/

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups

お礼

教えていただきありがとうございましたm(_ _)m