【問題】

質問

【問題】
次の命題について、真のときは証明を与え、偽のときは反例を与えよ。
x,yを実数とする。
|x|≦1かつ|y|≦1ならば(x+y)^2≦(xy+1)^2である。

たぶん…真だと思うのですが^^；
どうでしょうか??

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

f(x,y)=(xy+1)^2-(x+y)^2 (x|≦1かつ|y|≦1)
とおくと
f(x,y)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(1+x)(1+y)(1-x)(1-y)
=(1-x^2)(1-y^2)≧0
（等号はx=±1またはy=±1の時成立）
なので　(x+y)^2≦(xy+1)^2
（証明終わり）

お礼

ありがとうございました!!

回答No.2

naniwacchi

素直に式を計算すればと思うのですが・・・

・(x+y)^2≦ (xy+1)^2を展開して整理するとどうなりますか？
・その不等式が |x|≦ 1かつ |y|≦ 1 すなわち -1≦ x≦ 1 かつ -1≦ y≦ 1のときに満たされているかどうかを調べます。

そんなに難しい計算ではないですよ。

もし時間があれば、これらの 2つの「領域」を図示してみましょう。
それからも正しいかどうかを見ることができます。

お礼

ありがとうございました!!

回答No.1

中京区 桑原町（@l4330）

x=0.9
y=-0.1
この場合
(0.9+(-0.1))^2=0.64
(0.9*(-0.1)+1)^2=0.01
(x+y)^2≦(xy+1)^2 これが成立しません

お礼

ありがとうございました!!

補足

>(0.9*(-0.1)+1)^2=0.01

これって間違ってませんか??
(0.9*(-0.1)+1)^2=0.8281