数列の問題で。

質問

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

問題
1/√1+1/√2+1/√3+ ・・・1/√m＜2√m
が成り立つなら、（これを証明したいのですが。）
1/√1+1/√2+1/√3+ ・・・1/√m+1/√(m+1)＜2√m+1/√(m+1)
が成り立てば帰納法が成立するのですが
ここで解答が
よって、2√m+1/√(m+1)≦2√(m+1)
がいえればいいとかいてあるのですが、
それが分かりません。

回答No.2

nag0720

2√m+1/√(m+1)
＝{(2√m√(m+1)+1}/√(m+1)
＝{(√(4m^2+4m)+1}/√(m+1)
＜{(√(4m^2+4m+1)+1}/√(m+1)
＝{(2m+1)+1}/√(m+1)
＝2(m+1)/√(m+1)
＝2√(m+1)

回答No.1

Lokapala

＞2√m+1/√(m+1)≦2√(m+1)
両辺ともに正なので、両辺をそれぞれ2乗します。
（左辺の2乗）＝4m+1/(m+1)
（右辺の2乗）＝4m+4
ｍが正なので、1/(m+1)は1未満です。
よって（左辺の2乗）＜（右辺の2乗）
ゆえに（左辺）＜（右辺）
となります。

両辺が正のときは2乗して比べて右辺（左辺）が大きければ元の式でも右辺（左辺）が大きくなります。両辺が正でない時はこれは使えません。