数学でわからない問題があります。

質問

帰納法で解くことってできないのでしょうか？

解答例では２項定理を使って解いてますが・・・

帰納法でやってみたのですが、証明できなかったです。
やり方が違ってたのかもしれないのでお願いしたいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の続き
> ＝ka^2
＝ka^2＞0
したがって
(1+a)^(k+1)-{(k+1)a}＞0
(1+a)^(k+1)＞{(k+1)a}
これで
n=kのとき
(1+a)^n≧1+na(等号はn=1のときのみ成立)…（■）
が成り立てばn=k+1の時（n≧2の時）も成り立つことが示せたことになります。
数学的帰納法ではn=1の場合も成立する事
(1+a)^1=1+a=1+1*a
つまり
(1+a)^n≧1+na(n=1のときは等号が成立)
を最初に示しますから、これと合わせて
数学的帰納法の証明となります。

【注】
n=k+1(≧2)では
(1+a)^n＞1+na
を満たしますので
(1+a)^n≧1+na
も成り立っているということになります。

回答No.2

Tacosan

(1) は帰納法でできますよ. 計算を間違えない限り, 「普通に」やるだけ. (2) は #1 でいわれるように, (1) を使えば一瞬.

回答No.1

info22_

(1)
素直に2項定理を使って証明したらどうですか？
2項定理による展開をして
(1+a)^n=1+nC1 a+nC2 a^2+nC3 a^3+ ... +nC(n-1) a^(n-1) +a^n
n≧2で第3項以降はすべて正なので
1+nC1 a+nC2 a^2+nC3 a^3+ ... +nC(n-1) a^(n-1) +a^n＞1+nC1 a=1+na
から証明の式が成立するといえる。
n=1の時は
(1+a)^1=1+a　なので証明式は等号が成立する。
なので、すべての自然数n（正の整数）について証明式が成立し、等号はn=1のとき成立しますね。

数学的帰納法をやったのならその証明過程を補足に書いて頂かないとチェックできません。

(2)
両辺とも正なので、n乗した
(1+b)≦(1+(b/n))^n
a=b/nとおけば
1+na≦(1+a)^n
になります。
従って、(1)で証明済みならその結果を利用し
nを自然数として、a=b/nとおいても成立することから
(1+(b/n))^n≧1+b
両辺とも正なので(1/n)乗しても成立するから(2)の証明式が成り立つことが導けます。もちろん等号はn=1のとき（2項展開が2項だけになるとき）
成立です。

補足

n=k+1のときから書かせてもらいます。
(1+a)＾k+1-＜1+（k+1）a＞
=(1+a)^k(1+a)-1-(k+1)a

n=kの式を代入し

≧(1+ka)(1+a)-(k+1)a-1
・
・（以下計算）
・
・
＝ka^2
・
・
・
?

まだ説明不足ならいってください。