数列の証明問題について

質問

数列の問題です。

A1、…、An≧0　さらに、 Σ[k=1→n]Ak＝0 ならば、

A1=…＝An を証明せよ。

について解答していただけませんでしょうか？
できれば簡単な解説もあれば助かります。

課題を取り急ぎ完成させなければならず、
その中の最後に解けないでいる問題です。

どなたかご回答よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

1≦m≦n の任意の m について、
Am = -｛(Σ[1≦k≦nかつk≠m] Ak｝.
右辺 ｛ ｝ 内は、項数に関する帰納法により
≧0 であるから、Am ≦ 0.
Am ≧ 0 と仮定されているから、Am = 0 と解る。
従って、A1 = A2 = … = An = 0.

お礼

ご回答誠にありがとうございます。
任意の文字を利用して、項数の帰納法で解くのですね。
十分にヒントはいただいたと思います。
後は自分なりにアレンジしながら考えていきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

任意のi(i=1,2,3,...,n)に対して
0=Σ[k=1→n]Ak>=Ai>=0
よってAi=0(i=1,2,3,...,n)

お礼

ご回答ありがとうございます。
私には直感的に見た感想としましては、
少しだけ理解に時間が掛かりそうかもしれません。
ただ熟考し、今後の学習の参考にさせていただきたいと思います。

回答No.1

ferien

＞A1、…、An≧0　さらに、 Σ[k=1→n]Ak＝0 ならば、
＞A1=…＝An を証明せよ。

Ａ1，……，Ａn≧０だから、Ａ1＋……＋Ａn≧０
仮定から
Σ[k=1→n]Ak＝Ａ1＋……＋Ａn＝０だから、それが成り立つためには、
Ａ1＝……＝Ａn＝０でなければならないから、
よって、Ａ1＝……＝Ａn＝０

だと思います。（等しいだけなら、和＞０の場合もあるから）
どうでしょうか？

お礼

先頭をきってのご回答ありがとうございます。
最も直感的にわかり易いと感じることができた回答です。
本当に助かりました。ありがとうございます。