積分の問題です。
積分の問題です。
下では積分区間をaからbなら∫[a,b]、絶対値を|a|、累乗をa^xとしています。
見辛くて申し訳ないです。
問
lim[n→∞]∫[0,π]ｘ^2|sin(nx)|dxを求めよ
私の解答を書くので、どこが間違っていてるのか、どうすべき教えてもらえないでしょうか？
解)
nx＝kπとなるとき、|sin(nx)|＝０
∴X(k)＝kπ/n
(k＝1,2,…,n)とすると、
∫[0,π]x^2|sin(nx)|dx
＝Σ[k＝1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx
と表せる
ここで、X(k-1)≦X≦X(k)において、
{X(k-1)}^2≦X^2≦{X(k)}^2
より、各辺に|sin(nx)|をかけて
{X(k-1)}^2|sin(nx)|≦X^2|sin(nx)|≦{X(k)}^2|sin(nx)|
また、|sin(nx)|の周期性より、
∫[X(k-1),X(k)]|sin(nx)|dx
＝∫[0,π/n]sin(nx)dx
＝[0,π][-cos(nx)/n]
＝2/n
さらに、ここでy＝|sin(nx)|x^2 のグラフを考えて
面積で不等式を作ります。
本来は図示していますが、ここでは式のみを書きます。
{π{X(k-1)}^2}/n
＜∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx
＜{π{X(k)}^2}/n
∴Σ[k＝1,n-1]{π{X(k-1)}^2}/n
＜Σ[k＝1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx
＜Σ[k＝1,n]{π{X(k)}^2}/n
上の不等式の左側を計算すると、
{(1-1/n)(1+1/n+1/n^2)π^3}/3
nを∞に飛ばすと
(π^3)/3
右側も同じになるので(実際は計算していますが省略します)
はさみうちの原理より
(与式)＝(π^3)/3
これが私の解答なのですが、実際は(2π^2)/3になるのです。
どうかよろしくお願いします
お礼
なるほど。きれいにまとまりました。ありがとうございます。