微積

質問

微積

σ_n(x)=sinx+・・・+sinnxとおく。
σ_n(x)=［[{sin((n+1)x/2)}]sin(nx/2)］/sin(x/2)となることを詳しく証明して頂きたいです。

回答No.2

tmppassenger

以下、iは虚数単位とする。

大学っぽい回答をすると、一般にsin(z) = (-i/2) (exp(iz) - exp(-iz))であるから、A[n](z) = exp(iz) + exp(i2z) + ... + exp(inz)とおけば、σ[n](x) = (-i/2) (A[n](z) - A[n](-z)) となる。

所で A[n](z)は、実は初項 exp(iz)、交比 exp(iz)の等比数列の部分和なので、これは高校の公式を使って A[n](z) = (exp(iz) - exp(i(n+1)z) / (1-exp(iz)) と簡単に計算できる。

そこで、σ[n](x) = (-i/2) (A[n](z) - A[n](-z))を一先ず計算すると、(1/(2(1-cos(x))) * (sin(x) + sin(nx) - sin((n+1)x)) と計算できる。後は2倍角の公式と、和積の公式を使って、頑張って変形せよ。

回答No.1

gamma1854

S=Σ[k=0~n-1]sin(α+kh) とし、
両辺に 2*sin(h/2) をかけてできる級数の各項について「積を和に」かきなおしてください。