フーリエ変換に関して

質問

f(t)=exp(-i*a*t^2)
の複素関数のtに関する複素フーリエ変換がわかりません．どなたかご教授頂けませんか？iは虚数，aは定数です．

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

optcomさん、こんにちは。aは正の定数とし、f(t)のフーリエ変換を
　g(ω)=∫f(t)exp(-iωt)dt
で定義することにします。すると
　g(ω)=∫exp(-iat^2)exp(-iωt)dt
　=∫exp(-i[a(t+ω/(2a))^2-ω^2/(4a)])dt
　=exp(iω^2/(4a))∫exp(-ia(t+ω/(2a))^2)dt
積分変数をt'=t+ω/(2a)に変換すると
　∫[-∞～∞]exp(-ia(t+ω/(2a))^2)dt
　=2∫[0～∞]cos(at'^2)dt'
ここで
　∫[0～∞]cos(at^2)dt = (1/2)√(π/2a)　　(a>0)
はFresnel積分と呼ばれます。したがって
　g(ω) = √(π/2a) ・exp(iω^2/(4a))

回答No.5

adinat

♯4です、すみません。大嘘を言ったので訂正します。適当なコンパクト集合の増大列を取って積分値を極限で定義する（広義積分）ことは可能でした。ちゃんと収束します。嘘を書いて申し訳ないです。だからリーマン積分の意味でフーリエ変換を定義する限りはoptcomさんや、grothendieckさんがおっしゃることが正しいと思います。ただ前述のようにルベーグ可積分にはなっていない（L^1関数ではない）ので、そのような条件が必要になる場合は少しケアがいるかも知れません。だけれどこの辺の事情はたぶん証明の都合上であることが多いので、実際は何も問題ないのかも知れません。詳しいことは知らないので、ほんと中途半端な発言で申し訳ないです。

回答No.4

adinat

とりあえずFresnel積分というのはいわゆるリーマン式の広義積分で、ルベーグ可積分でないので注意が必要です。ようするにR上の積分（フーリエ変換）を[-n,n]での積分でn→∞としたものと考えればoptcomさんの方法でまったくよいと思うのですが、ここで積分の取り方を[-2n,n]とかに変えると積分は収束しません。そういう意味でフーリエ変換の扱いは通常の可積分函数の場合よりは厄介です。いわゆるコーシーの主値みたいな感じになっています。というわけで実際はこのfのフーリエ変換は超関数になるものとして扱うのだと思います。

お礼

２度もご回答ありがとうございます．
実は数学はまったくの素人なので，
>リーマン式の広義積分で、ルベーグ可積分
や
>コーシーの主値
とは何か知らないので，もしよろしければ参考文献のポインタだけでも示して頂けませんでしょうか？勉強してみます．

なるほどFresnel積分という名前まで付いていたのですね．勉強になります．一応光学を専攻している者なのでFresnel積分を知らなかったのは何とも恥ずかしい．．．上の式変形もFresnel領域の光の伝搬を解いていた過程で必要になりました．

回答No.3

grothendieck

回答を訂正させていただきます。
　　∫[-∞～∞]exp(-ia(t+ω/(2a))^2)dt
　=2∫[0～∞](cos(at'^2)-isin(at'^2))dt'
でoptcomさんがNo1のお礼で書かれている式で良いと思います。

お礼

ありがとうございます．昨晩頭をひねって考えた方法でよさそうだと聞いて安心しました．

回答No.1

adinat

どういう状況でfのフーリエ変換が必要になったのか
わかりませんが、形式的にされたいのならexpの中身が
-at^2の時に使える公式を使うしかないような気がします。

というのは、そもそも関数f(t)=cos(-at^2)+cos(-at^2)は
可積分函数ではないので、フーリエ変換を定義できません。

補足

ありがとうございます．a>0ということを書き忘れましたが，
その条件下でもやはりフーリエ変換は不可でしょうか？

自分でも昨晩中足りない頭を使って悩んでおりましたところ以下の方法を思いつきました．

フーリエ変換の式，
1/(2π)exp(-iat^2)(exp-iωt)dtのexpの中身を平方完成していくと，
K=∫[-∞～∞]exp(-iT^2)dTの形の積分が解ければ良いというところまで行き着きました．
そこで，
exp(-iT^2)をオイラー公式によってcosとsinに実部虚部に分けると，最
終的にI=∫[-∞～∞]cos(T^2)dTと J=∫[-∞～∞]sin(T^2)dTがとければよい．

∫[0～∞]cos(T^2)dT=(1/2)√(π/2)という記述を
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=441692
で発見したので，cos(T^2), sin(T^2)はそれぞれ偶関数なので
I=J=√(π/2)となる．
よって，
K=√π(1/√2 - i1/√2) =exp(-i(π/4))
となるので，Kの積分が解けました．

最終的には，
1/(2π)exp(-iat^2)(exp-iωt)dt=
√(π/a)exp(-i(π/4 - ω^2 /(4a)))
となりました．

昨晩投稿した後に再び一生懸命考えて以上の結論に達したのですが，
正しいかどうか全く不安です．何か見落としているような気もしております．
expの中が-iだとやはりフーリエ変換は出来ないのでしょうか?

正しい/正しくない，などアドバイスを頂けたらと思っております．