フーリエ変換

質問

本で読んでいてひっかかってしまいました。exp(-at)exp(ibt)のフーリエ変換について教えてください。
普通-∞～∞の範囲で積分すると思うんですが、ただ単純にやるとできません。(そもそも時間に対して負の範囲で積分するという意味がわかりません。）

　よくexp(-a|t|)のフーリエ変換はありますが、同じようにやるんでしょうか？

回答No.3

walkingdic · ベストアンサー

>exp(-at)exp(ibt)のフーリエ変換
減衰波形のフーリエ変換ですね。

>普通-∞～∞の範囲で積分すると思うんですが、ただ単純にやるとできません。
-∞だと式の値が無限大になるのでこの場合には０からするのが適当ですね。

>そもそも時間に対して負の範囲で積分するという意味がわかりません。
波の長さが変われば周波数スペクトルは異なります。
たとえば単純なｓｉｎ波を考えましょう。もしこれが５波長分の長さしかないのであれば、周波数成分としてはｓｉｎの周期の周波数だけではなく、５波長分に相当するスペクトルも同時に出ます。

つまりもし本当に単純にｓｉｎ（２πｆｔ）の周波数ｆだけのスペクトルにしたければ、過去無限大、そして未来無限大まで波が続いていることが必要です。
これが一般に-∞～∞まで積分が必要となる理由です。

では有限区間でフーリエ変換するとどうなるかというと、その区間で波が一巡してまた同じ波が繰返されていると仮定しているのと同じになります。なので基本は－∞～＋∞になるのです。

ただ減衰関数だとｔ＝０の時からしか考えない場合があるのでそのままでは使えません。

>よくexp(-a|t|)のフーリエ変換はありますが、同じようにやるんでしょうか？
具体的にその関数がｔ＜０の時にどう扱うのか、つまりどう定義しているのかにもよるので一概にはいえません。

お礼

詳しく説明していただきありがとうございます。

さらに質問があるのですがよろしいでしょうか？

＞具体的にその関数がｔ＜０の時にどう扱うのか、つまりどう定義しているのかにもよるので一概にはいえません。

とありますがどのような条件等が必要でどのようになるのでしょうか？今、Q値とスペクトルの半値幅の関係を出そうとしているのですが、どうしてもt>0だけとったのでは合わなくなってしまいます。
この計算結果はa/(a^2+(b-ω)^2)になるんじゃないかと思うのですが…。分子は微妙に違うかもしれません…。

回答No.4

foobar

Q値とスペクトルの広がりの関連を見るなら、
t<0で0として良いように思います。
(初期値0の系にt=0でインパルス入力をいれて、応答を見る感じ)

計算結果
exp(-a+ib)tを変換すると、F(w)=1/(i(w-b)+a) のような形になるような。
半値幅を出すには、|F(w)|(または|F(w)|^2)を計算して、そこから算出することになるように思います。

有限区間でフーリエ変換
有限区間でのフーリエ変換にはちょっと注意が必要かと。
周期関数を-∞<t<∞ でフーリエ変換すると、周期関数の基本周期間隔でδ関数が並ぶ(Σan δ(w-nw0)みたいなかたち)ことになるかと思います。
これを一部だけ(たとえば5周期だけ)着目し(着目以外の部分は0)て計算すると、sinc関数を足し合わせた形(例えば5周期分だとΣan*sinc(5nw0))のようになるかと思います。

回答No.2

foobar

exp(-at)exp(ibt)のフーリエ変換
t->-∞で発散するので、tが-∞から∞の区間のエネルギーも発散して、フーリエ変換は計算できないかも。

時間に関して負の領域も積分
フーリエ変換は全体のエネルギーに関連しているかと。
このため、全時間領域に関して計算をする必要があると解釈しています。
（先の方の回答にも関連しますが、t=0をどこに選ぶかも自由度があるような。）

回答No.1

N64

私は今、ある本でフーリエ展開とフーリエ変換を独学している者ですが、この本によりますと、以下のような感じになります。
フーリエ変換では、-∞～∞の範囲で積分しますが、もちろん、実際の波を-∞～∞の範囲で積分するなどと言うことは、できません。そこで、できる範囲で積分して、全体を推定することになります。周期がはっきりわかっている場合は、周期の範囲で計算すればよいはずですが、周期がない波の場合は、計算する範囲が広ければ広いほど確かな結果が出ます。しかし限度があります。周期のない波については、このような不確実性があるのだそうです。

時間に対して負の範囲で積分するという意味については、この本では以下のように説明しています。
フーリエ展開では周期Tについて０～Tの範囲を積分するのを、－Ｔ／２～Ｔ／２としても、同じです。そこで、フーリエ展開では、Ｔに∞を代入（？）して、－∞／２～∞／２としました。これは、-∞～∞としても同じことです。
こうすることで、その後、対称的で美しい数式を導くことができるのだそうです。