正規分布とフーリエ変換について

質問

中心極限定理を突き詰めて行く有名な正規分布をあらわす関数

e^(x^2) / (2π)^(1/2)

が出てきますが、こうして見出されたこの関数がフーリエ変換に対して不変であるという特徴を持つのはなぜでしょうか？

これが単なる偶然なのかそうあるべきものなのかがよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

noname#108554

岩波数学公式集によると、
1/√|x|
sech(√(π/2)x)
もフーリエ変換に対して不変です。

お礼

それは初耳でした。
この回答によって、正規部分布がフーリエ変換に対して不変なことが単なる偶然に過ぎないということを示している物だとそれとなく実感できました。

ありがとうございました。

回答No.4

noname#108554

間違えました。

で、私が得た※のもっとも一般的な解は、「任意の」関数gに対し、
f=g+F(F(g))・・・※2

ではなくて、

で、私が得た※のもっとも一般的な解は、「任意の」偶関数gに対し、
f=g+F(g)・・・※2

例えば、g=δ(x)とすると、これは偶関数で
f=1/sqrt(2π)+δ(x)
これは※の解になっています。

回答No.3

noname#108554

fのフーリエ変換をF(f)で表現します。
フーリエ変換して元に戻るということは、
F(f)=f・・・※
あるいは、もっと一般に
F(f)=λf
と書けるでしょう。つまり、作用素Fに対する固有値問題になります。
・・・が、私は作用素環論については全く知らないので略。

で、私が得た※のもっとも一般的な解は、「任意の」関数gに対し、
f=g+F(F(g))・・・※2
「任意の」とはどのぐらい任意かがよく分からないので「」付です。
たぶん二乗可積分とかだと思いますけど。

したがって、結論：
単なる偶然です。
※2の関数のクラスに正規分布(ただし標準偏差が1の場合のみ)が入っているからです。
その中の重要な関数に人間がたまたま標準正規分布という名をつけた、と。
※2の中になぜ標準正規分布が入っているのかとまで聞かれると困りますけど。

回答No.2

iwaiwaiwa

eという自然対数が人工的に作られたもの、　
e^x=cosx+isinx
という式で表されることを考えると、
完全なる偶然ではなく半分は必然と言えるかもしれませんね。
フーリエ変換に対して不変とありますが、上述の式の係数の部分は
不変になるように調整したものなので、完全な偶然とは言えないでしょうね。

補足

中心極限定理によって発見された正規分布曲線がフーリエ変換でも特異性を示すのには何か理由があると考えています。

物理学の分野になってしまいますが、フーリエ変換が不変であることはハイゼンベルグの不確定性原理で、位置の不確定性が正規分布に従うなら運動量の不確定性も正規分布に従うということになります。

中心極限定理の極限としての正規分布曲線からフーリエ変換不変に対する必然性、または、フーリエ変換不変の必然性から中心極限定理を証明することはできないでしょうか。

回答No.1

guuman

偶然です
なんで万有引力が働くのか
と言う質問をしているようなものです