フーリエ変換について

質問

f(t)=1 (|t|<1)
0.5 (|t|=1)
0 (|t|>1)
のフーリエ変換を求めよ、という問題です。
|t|>1ではF(ω)=0に、
|t|<1ではF(ω)=-1/iω(exp(-iω)-exp(iω))
になるだろうと考えたのですが、 |t|=1の時どう考えたらいいのかわかりません。
使用している参考書にはこのようなピンポイントでのフーリエ変換については記述がありませんでした。どなたか知恵を拝借できればと存じます。よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

フーリエ変換はf(t)のtによる場合分けしては駄目。
f(t)のtによる積分範囲を分割して積分を実行しないと間違い。
フーリエ変換を定義から復習しなおすことをお勧めします。

以下のように定義式の積分範囲をtの範囲で分割して積分を実行してやります。
F(w)=∫[-∞,∞] f(t)e^(-iwt)dt
=∫[-∞,-1-0] f(t)e^(-iwt)dt+∫[-1-0,-1+0] f(t)e^(-iwt)dt+∫[-1+0,1-0] f(t)e^(-iwt)dt
+∫[1-0,1+0] f(t)e^(-iwt)dt+∫[1+0,∞] f(t)e^(-iwt)dt
=∫[-∞,-1-0] 0*e^(-iwt)dt+∫[-1-0,-1+0] 0.5e^(-iwt)dt+∫[-1+0,1-0] 1*e^(-iwt)dt
+∫[1-0,1+0] 0.5e^(-iwt)dt+∫[1+0,∞] 0*e^(-iwt)dt
=0+[0.5e^(-iwt)/(-iw)][-1-0,-1+0] + [e^(-iwt)/(-iw)][-1+0,1-0]
+ [0.5e^(-iwt)/(-iw)][1-0,1+0]+0
=0.5[e^(iw)-e^(iw)]/(-iw)+ [e^(iw)-e^(-iw)]/(iw)]+0.5[e^(-iw)-e^(-iw)]/(-iw)]
=0+ e^(iw)-e^(-iw)]/(iw)+0
=2sin(w)/w ...(答)

お礼

なるほど、そのように分けるのですね！
とても参考になりましたありがとうございました！
徹底的にフーリエ変換を特訓しようと思います！