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円の方程式を求めるときの、中心の求め方
寺田文行『鉄則数学(1)』に載っている問題で、次の條件を満たす円の方程式を求める問題です。 ・2点(1,5),(3,-1)を通り、半径√10 私は、この円の中心を(a,b)とすると、 (1,5)を通ることから (1-a)^2+(5-b)^2=10 (3,-1)を通ることから (3-a)^2+(-1-b)^2=10 と考えたのですが、ここからどうすればa,bが求まるのかわかりませんでした。 載っている答えは (x-2)^2+(y-2)^2=10 です。 問題を見た感じでは條件を満たす円は2つあるように思ったのですが、1つだけでしょうか。
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このような円は一般には二つ有りますが、二つが重なって一つの円になることもあります。 (1-a)^2+(5-b)^2=10 ...(1) (3-a)^2+(-1-b)^2=10 ...(2) 各辺の引き算を行って整理すると a=3b-4 ...(3) この方程式はなんでしょう? 二つの円の中心を結ぶ直線ですね。これを(1)に代入してbを求めると b=2 (3)に代入してa=2
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- kotaedesu1
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一般的な解法を書けば (1-a)^2+(5-b)^2=10・・・(1) (3-a)^2+(-1-b)^2=10 ・・・(2) とするとき この二つの式より aを bの式であらわし {(1)-(2)などから導く} どちらかへ代入して解く。 今回の場合は たまたま 重解を持つので 答えは一つ。
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ありがとうございました。
- arukamun
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まず、2点を通る円の個数を調べるため、2点間の距離を求めてみましょう。 xの増加量は3-1=2 yの増加量は5--1=5+1=6 2点間の距離は√(2^2+6^2)=√40=2√10 半径は√10という事なので、直径は2√10ですね。 2点間の距離と等しい為、2点を通る円は1個しか存在せず、円の中心は2点の中点という事です。 よって円の中心は(2,2)ですので、円の方程式は (x-2)^2+(y-2)^2=10 です。
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ありがとうございました。
- gator
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殆どできていますよ。 (1-a)^2+(5-b)^2=10 (3-a)^2+(-1-b)^2=10 この連立方程式を解けば良いのです。とにかく全部(○-○)^2 を計算して、式どうしの引き算をすれば、2乗の項は消えて、 aとbの一次式になります。これは実は2点からの距離が等しい 点の集合=2点の垂直2等分線になります。 この関係を最初の2式のどちらかへ代入するとaかbの2次方程式 になりますが、この解が重根と言うのでしたっけ?解が一つになり ます。確かに一般的には2次方程式の解は2つあり、従って円は 2つになるというのは、正しい考え方ですが、重根ということは、 上述の垂直2等分線上の、、、。そうか!そもそも、2点間の距離は 、、、? この辺にしておきましょう。 以上
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ありがとうございます。
- tamagawa49
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(1,5)と(3,-1)との距離を求めると2√10となります。 つまり、与えられた2点はちょうど直径の両端と言うことになります。 そう考えると、よくある(1,5),(3,-1)を直径の両端とする円の方程式を求めることになりますから、中心は2点の中点である(2,2)、半径√10。 従って(x-2)^2+(y-2)^2=10となると思います。 自動的に他の円は考えられません(答えは1つです)。
お礼
ありがとうございます。
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ありがとうございました。 このご回答がいちばんわかりやすいと感じました。