円の方程式について

質問

点（２，３）を通り、y軸に接して中心が直線　y=x+2　上にある円の方程式を求めよ。

という問題で解答が、

y軸に接して中心が直線　y=x+2　上にあるから、求める円の方程式は
　(x-a)^2+{y-(a+2)}^2=a^2
とおける。これが、点(2，3)を通るから
　(2-a)^2+(3-a-2)^2=a^2
a^2-6a+5=0より　　(a-1)(a-5)=0　　よって　a=1,5
ゆえに　　(x-1)^2+(y-3)^2=1, (x-5)^2+(y-7)^2=25

だったのですが、よく理解が出来ませんでした。

疑問点は、

(1)直線から円の方程式がどうして求められるのか。
(2)なぜ解が２つあるのか。

この2点です。
どなたか回答、よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞(1)直線から円の方程式がどうして求められるのか。
というよりも、求めているものが円の方程式だからですが・・・
・円の中心が直線上にあることと
・円の半径が「y軸に接する」ということ

を考えることで、円の方程式が得られることになります。

＞(2)なぜ解が２つあるのか。
少しややこしいですが、今後こういう問題に出会うこともあると思うので。
円の中心を (a, b)とすると、「y軸に接する」という条件から半径は |a|（絶対値付き）となりますね。
このことを円の方程式にすると、
(x- a)^2+ (y- b)^2＝ a^2
x^2- 2ax+ y^2- 2by+ b^2＝ 0

となります。

ここで、解となる円の中心の一つが点(1, 3)とわかっているとします。
このとき、半径は 1であり、円は点(2, 3)を通ります。
x＝ 2, y＝ 3を代入すると、上の式は次のようになります。
a＝ 1/4* (b^2- 6b+ 13)

aは中心の x座標、bは中心の y座標ですから、
円の中心は、この放物線の上にあることとなります。（横向きになった放物線です）
この放物線と直線の交点を考えると、交点が 2つ現れます。
これが解が 2つになる理由です。

添付の図に、円の中心の軌跡となる放物線（水色）を書きいれてみました。

つまり、
「軸に接するように円の中心が移動していくとき、円の中心の軌跡は放物線を描く。」
というのが、その背景にあります。

お礼

回答ありがとうございました。
図もあり、分かりやすくて助かりました。

回答No.5

info22_

#2です。

(2)の補足として2つの円の図を描きましたので添付します。
a=1,5に対する円の図です。図と式とaの値との関係を良く理解するようにしてください。

回答No.4

tomokoich

直線から円の方程式を求めると言うわけではなく、この問題の条件が
(1)y軸に接している
(2)点(2,3)を通る
(3)中心の座標が点(x,y)--->この点のX座標Y座標がこの問題の場合直線y=x+2上にある
　　---->中心の座標はx座標をaとするとこの条件から（a,a+2)になる
という３つの条件から円の方程式を求めるわけです。

一般的に円の方程式は
(x-x1)^2+(y-y1)^2=r^2　中心の座標(x1,y1)半径ｒ
と表しますので条件(3)から
(x1,y1)=(a,a+2)に置き換え条件(1)から半径aということがわかるので
求める円の方程式は
(x-a)^2+(y-(a+2))^2=a^2
と表せます

さらに条件(2)から点(2,3)を通るので上の方程式のx,yに2,3を代入します
そうするとaについて二次方程式になるので（質問に書いてある通り）
求めると
座標aは1,5の２つ出てきます

疑問（２）に関しては問題の条件を満たす円は２つあるということです

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

(1)直線から円の方程式がどうして求められるのか。
円の中心が直線「y=x+2」の上にあるから、円の中心のx座標をaとおけば
円のy座標は「y=a+2(=bとおく）」となります。
また円がy軸に接することから円の半径は、円の中心からy軸までの距離に等しくなるので
r=|a|となります。
円の中心座標(a,b)と半径rを円の式　(x-a)^2 +(y-b)^2=r^2
に代入すれば円の方程式になりませんか？

(2)なぜ解が２つあるのか。
図を描けば分かることですが
円の中心が点(2,3)の左側にある円と右側にある円の2通りが存在する場合があるからです。

お礼

回答ありがとうございました。
円の図も作成していただいて、助かりました。

回答No.1

Quattro99

中心のx座標をaとすると、中心はy=x+2上にあるのでy座標はa+2となります。つまり、中心の座標は(a,a+2)です。
そして、y軸に接するので、半径は中心のx座標の値の絶対値、つまり|a|になります。
中心が(a,a+2)で半径|a|の円の方程式が(x-a)^2+{y-(a+2)}^2=a^2です。

解が2つあるのは実際そうだからとしか言いようがありませんが、直線のグラフと点(2,3)を描いてみればわかると思います。

お礼

回答ありがとうございました。