重複順列に関する問題について

質問

なかなか難しいのですが、どなたかご教授をお願いします。↓

６個の異なる品物をＡ，Ｂ，Ｃの3人に分けるとき、そのわけ方は何通りあるか求めよ。ただし、3人とも少なくとも1個はもらえるものとする。

回答No.7

noname#131234 · ベストアンサー

No 4さんが正しいと思いますが、複雑に考える理由が解せません。
（問題でわざわざ「難しいよ」と書いてあるのが解きにくくなっている理由でしょうか）

中高時代にわりと頻繁にある現実的シチュエーションだとおもいます。

具体的には、
3人の悪がきが、約一名の家に遊びにいって、
そこでLANパーティーか家ゲー大会か年末年始トランプ大会を開き、勝者景品としてジュースを一人2本づつ買って、「もちよる」という状況です。

普通に全部の6本をそれぞれ「配給品」グループ（3本）と「景品」グループ（3本）に分けることで話が始まります。
グループ分けの後、
まずは、「配給品」グループ（3本）より一人それぞれ1本選択します。
つまり6!/3!＝20通り。配給が済んだ段階で、No5サンの述べるようなABC丸バツ表を作り、3の3乗＝27通りがそれぞれ想定できますから、20x27＝540通りとなります。

否定形余事象の場合。
大会勝者と次点が景品をもらう場合、最終的に、必ず「何ももらわない敗者」が一名出てきます。

勝者親分独り占め3通り
3

独り占め親分の心変わりで、一番嫌いなジュースを一本、負け組み代表＝約一名に差し上げるケースは、（6!/5!）x2親ビンは子分2人の中からひとりを選べます。各ABCが親分になる場合わけで3通り＝6x2x3
36

同様に
独り占め親分の心変わりで、嫌いなジュース2本、ひとりの子分に分け与えるケースは、（6x5/2)x2（子分2人の中からひとりを選ぶ）。
各ABCが親分になる場合わけで3通り＝15x2x3
90

最後に同着優勝2名の場合、理論的優勝者が3本好きなジュースを取るとして（6x5x4）/(3x2) で残り3本を子分の理論的準優勝者に渡します。（誰を準優勝者にするのかについて2通りの選択肢）。
各ABCが親分になる場合わけで3通り、しかし、優勝準優勝同着なので、勝者を2重に計算しております。（20x2x3）/2
60

3の6乗-（3+36+90+60)=729-189=540

最初のグループ分けのほうが明らかに簡単な計算法です。

回答No.8

noname#131234

最初の解き方20通りは、6!/3!ではなく（6x5x4)/(3x2x1)で20とおりです。失礼。6コンビネーション3を
3個のそれぞれ違う景品を三人で分ける「わけ方」＝6通りで割る

回答No.6

mesenfants

no5です。はやくも補足です。ごめんなさい。

ＡＢ　ＢＣ　ＣＡ
のとき２つの可能性といいましたが、２の６乗に３（通り）をかけなくてはいけないし、さらに、それぞれ、

ＡあるいはＢだけ　ＢあるいはＣだけ　ＣあるいはＡだけ
の場合もあるので、上記から
結局　２×３　を引く（３の６乗にならば足す）。

ますます自信喪失。

回答No.5

mesenfants

うーむ、これでどうでしょうか。自信はないですが。

左から順番に１、２、３……６までかっこに名が付いていることにします。
（　）（　）（　）（　）（　）（　）

それぞれのかっこはＡＢＣの３通りの可能性をもつ。
で、３×３×３×３×３×３（通り）

上記から、ＡＢ　ＢＣ　ＣＡだけに配る場合、かっこは２つの可能性をもつので
２×２×２×２×２×２（通り）

と、Ａ　Ｂ　Ｃだけに配る場合
３（通り）

を引く。

どこかに勘違いがあるかもしれません。

回答No.4

noname#94461

配り方は　(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2)の3種類あります。
人の区別が無い:同じ種類の3箱に配るとして各々 30,60,90種となります。
人の区別を考慮した場合、各々　30*3, 60*6, 90*1種
合計540種だと考えられます。

(3,2,1個の同じ種類の箱への配り方は　6C3*3C2*1C1=20*3*1=60 etc)

回答No.3

naniwacchi

長文となってしまいますが。

「少なくとも」をどう処理するかがポイントだと思います。
(1)まずは１個ずつ配ってから、残りの３個の分配を考える。
(2)１個も配られないケースを考え、全分配から引き算する。（余事象の考え方）

(1)は、よく考えないと重複して勘定してしまうことになります。
たとえば、６つの品物をそれぞれa,b,c,d,e,fと名付けることにします。

Step1：まず１個ずつ分配するとして、Aにはa, Bにはb, Cにはcを配ったとします。
このような選び方は、６×５×４とおりあります。
Step2：残りd,e,fを分配します。
選び方は、dがA,B,Cの誰に渡るかが３とおり、以下同様ですので、全部で3^3とおりとなります。

が、Aにはaとdが配られることを考えたとき、
「Step1でaを配られる場合」と「Step1でdを配られる場合」とがあります。
このような重複を取り除こうとすると、だいぶ手間がかかります。

次に(2)の場合ですが、余事象となるケースは
ア）Aには１つも配られない（B,Cに配られる）
イ）Bには１つも配られない（C,Aに配られる）
ウ）Cには１つも配られない（A,Bに配られる）
エ）Aの総取り
オ）Bの総取り
カ）Cの総取り
となります。
しかし、この中でも重複があります。
ア）のときには、オ）とカ）も含まれる。以下同様。

「全体」となるのは、3^6とおりです。

まだ、(2)の方法が計算はしやすいのではと思います。
品物までもが「異なっている」ので、非常に面倒なことになってます。
がんばってください。

回答No.2

gohtraw

補足です。先の回答中の「Ａが何ももらえない」２＾６通りにはＢの総取り、Ｃの総取りが含まれます。同様に「Ｂが何ももらえない」場合にはＡの総取り、Ｃの総取りが含まれます。よって単純に２＾６＊３を引いてしまうと引き過ぎになるので要注意です。

回答No.1

gohtraw

６個のそれぞれについて配布先が３通りあるので３＾６通り。但しこの中には何ももらえない人がいる場合も含まれるのでそれを差し引く必要があります。たとえばＡが何ももらえない場合は配布先が２通りになるので２＾６通りかと。