段差を乗り越える円柱

質問

質量m,半径aの一様な円柱が、水平面上を角速度ωで
滑ることなく転がっている。
この円柱が、高さsの垂直な段差(ただし、s<a)に衝突し、その段差を乗り越えるための最小のωを求めよ。
ただし、段差に衝突する点において、円柱は滑ることなくこの点を中心に回転し、衝突の直前と直後でこの点周りの角運動量は保存されるものとする。

この問題で、衝突前後の角運動量の保存の式をどういう風に立てたらいいのかがわかりません。

中心周りの慣性モーメントI=1/2 ma^2,
衝突点周りの慣性モーメントはI'=3/2 ma^2
となり、衝突直後の回転の角速度ω'として、
IωとI'ω'をどのような関係式で結べばよいのでしょう。

どなたかわかる方、教えていただけませんか？

回答No.3

Teleskope · ベストアンサー

もう解決しましたか？一応書いておきます。

１．
　お忘れかも?
(1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 = mgs + (1/2)Iω'^2 +【ここにも】

２．
　カドから円柱中心への位置ベクトルを「動径」と書きます。

(1)s=aの場合；
並進の速度ベクトルが動径と平行ゆえ回転モーメント成分がゼロで「乗り上げの回転」に加勢しない。回転の勢いだけで昇ることになる。（No1で書いた状況です。）
（余談；
剛体を仮定しちゃうと衝突の瞬間に並進運動エネルギがどこへ行ったか説明のしようが無い、並進運動エネルギの立場が無いんですね、現実は圧縮ひずみ波が物体内を反射往復するとかします。日常でもクルマやバイクの激突で内蔵を痛める話などで出てきます。）
　で、
ぶつかる直前の角運動量（回転モーメント）を I1ω1、カドにガキッと当たって「スリップしないと仮定」だから そこを支点に 円筒が持ち上がる。　その支点まわりの角運動量を I2ω2 （I2はあなたの式を使いますが式に自身ありますね？）と書くと、「角運動量は保存継続と仮定」なんだから 二者の等式しか無いでしょ。結果、
　　ω2 = (I1/I2)ω1 = (1/3)ω1　衝突直後
となりました。
で、
s=aだから 直後に動く方向は垂直です。　初速Voで質量mが垂直に‥と同じ構図です。　が、この場合 動径一定の回転運動です。運動方程式を書いてみましょう。回転角をθとして、重力はmgcosθ、これを動径まわりのモーメントで‥。
　　ω2(t) = dθ/dt　などを使います。
この微分方程式を積分すれば、円筒が昇っていく詳細の解が得られますが、一度は体験してみてください。（気が付きましたか？）

(2)s<aの場合；
並進の速度ベクトルが動径と角度を有するので ちょっと回転に加勢します、（方向余弦意外の成分は、やはり剛体では立場が無いですが。）角運動量の初期値がその分増える、θの初期値が0でない所から始まる、あとは同じです。

お礼

あ、なるほど!!!
並進の速度ベクトルとの角度は考えてませんでした。
やっともやもやがとれた気がします。

丁寧な回答、ありがとうございました。
本当に助かりました。

回答No.2

Teleskope

もう一つヒント。質量ｍが速度vで動いてる並進運動エネルギは
　　(1/2)(mv^2)
半径と回転数が分かってれば並進速度は‥

　そして保存則ですね。

補足

ありがとうございます。

おっしゃっているのは、
(1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 = mgs + (1/2)Iω'^2
ということですよね？
最初と最後のエネルギーを使えば、最終的な角速度が
すぐにでてくることはわかるのですが…

実は誘導形式の問題で、衝突直後の衝突点周りの角速度を
求めなければいけないんです。
この瞬間の角速度は、段差を上りきった後の角速度とは
異なりますよね？？(高さが異なりますから)

これを出すためには、衝突点から受ける力積の影響を
考えないといけないと思うのですが、
どういう力積をどういう向きに受けるのかが分かりません。
ここを教えていただきたいです。

長くなりましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

Teleskope

慣性モーメントIの物体が回転してる運動エネルギは
　　(1/2)(Iω^2)
質量ｍの物体が高さｈに昇るための位置エネルギは
　　mgh
gはその場の重力加速度
答まで書くと削除になるので、あとは自分で。