加法定理

質問

正弦関数と余弦関数の加法定理を導くにはどうしたらよいのでしょうか？

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

図で証明します
単心円上にA（sinα、cosβ）、B（sinβ、cosβ）をとります。
AB^2を2通りで表します。
（cosβ-cosα)^2 + (sinβ-sinα)^2 ＝1^2 + 1^2 -2・1・1・cos(α-β）
（点の距離と余弦定理）
⇔2 - 2(cosαcosβ + sinαsinβ）= 2-2cos(α-β）
⇔ cos(α-β）＝(cosαcosβ + sinαsinβ）

β＝-βを代入でcos(α＋β）が求まり
sinθ＝-cos(90+θ）より
sin(α+β）＝-cos(90+α＋β）＝・・・でsin(α＋β）がもとまり
β=-βを代入でsin(α-β）がもとまり
tan(α+β）= sin(α+β）/ cos(α＋β）
β=-βを代入でtan(α-β）がもとまります。

回答No.5

nubou

ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＋ｉ・ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）＝
ｅｘｐ（ｉ・（ｘ＋ｙ））＝
ｅｘｐ（ｉ・ｘ）・ｅｘｐ（ｉ・ｙ）＝
（ｃｏｓ（ｘ）＋ｉ・ｓｉｎ（ｘ））・（ｃｏｓ（ｙ）＋ｉ・ｓｉｎ（ｙ））
より

回答No.4

Mell-Lily

まず、座標平面上で初等幾何学的に証明する方法があります。また、複素数の乗法を使って証明する方法もあります。

回答No.3

ONEONE

#1です
A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)でした。

お礼

わかりました。ありがとうございました！

回答No.2

eatern27

A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)とすると、(β≦α)
|OA(→)|＝|OB(→)|＝1、∠AOB=α-βとなります。
OA(→)・OB(→)＝|OA(→)||OB(→)|cos∠AOB＝cos(α-β)
また、
OA(→)・OB(→)＝cosαcosβ+sinαsinβ
となるので、
cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ

この後は#1さんと同じです。