双曲線関数の加法定理

質問

双曲線関数の加法定理

双曲線関数の加法定理を導出する問題が出ましたが、どこをどうすればいいのかが分かりません。
cosh(x+y)=coshxcoshy-sinhxsinhy
と簡単にいかずに
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxcoshx
となる理由もわかりませんし…

数学が得意な方はぜひご指導をよろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

双曲線関数と三角関数は、複素関数としては、ほぼ似たようなものです。
sin x = { e^(ix) - e^(-ix) }/(2i) = (sinh ix)/i,
cos x = { e^(ix) + e^(-ix) }/2 = cosh ix.

これを cos の加法公式へ代入して、
cos(x+y) = (cos x)(cos y) - (sin x)(sin y) より、
cosh(ix+iy) = (cosh ix)(cosh iy) - (sinh ix)/i・(sinh iy)/i.

これが任意の複素数 x, y について成り立つのだから、
X = ix, Y = iy とでも置換すれば、目的の式を得ます。

右辺第二項の符号反転は、分母の i^2 = -1 から生じており、
オイラー等式 exp x = (cos x) + i (sin x) の係数 i に由来します。

お礼

解答のほうをありがとうございます。なるほど…一度、対数関数に直して計算をしないと難しいのですね…
一度計算をしてみます！！

回答No.3

Tacosan

1つの方法は e^x = cosh x + sinh x, e^-x = cosh x - sinh x から e^(x+y), e^-(x+y) を計算する.

回答No.1

178-tall

>cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxcoshx となる理由 ......

　cosh(x+y) = cosh(x)*cosh(y) + sinh(x)*sinh(y) でしょうね。

関数の定義から勘定するのがふつうです。

　cosh(x) = {e^(x) + e^(-x)}/2
　sinh(x) = {e^(x) - e^(-x)}/2
　　　↓
　cosh(x)*cosh(y) = {e^(x+y) + e^(x-y) + e^(-x+y) + e^(-x-y)}/4
　sinh(x)*sinh(y) = {e^(x+y) - e^(x-y) - e^(-x+y) + e^(-x-y)}/4

　　　↓ 足し算して…
　cosh(x)*cosh(y) + sinh(x)*sinh(y) = {e^(x+y) + e^(-x-y)}/2 = cosh(x+y)

x, y が純虚数にすると、cos の加法定理。

お礼

解答のほうをありがとうございます。x,yの対数関数としてやはり考えないとだめなのですね。頑張って計算をしてみます！！