大学入試の数学の質問です

質問

「ｙ軸上に中心をもち、点（０，１）を通る円のうち、y=cosxの下側に存在し、半径が最も大きい円の半径を求めよ。」　という問題が某参考書の備考欄にあって、解説が載っていませんでした。答えは「１」です。
僕は円の半径をrとおいて「円の中心（０、１－ｒ）とｙ＝cosxとの距離」≧r　の関係からｒの最大値を求めようとしましたが、上手くいきませんでした。また、他の方法も思いつきません。

誰か教えていただければ助かります。よろしくお願いします。

回答No.5

mesenfants

no2　です。
お詫びが遅れて申し訳ありません。
締め切りにならないうちにとりあえず、訂正とお詫びを申し上げます。
さきのやり方は、勘違い（はやとちり）でした。
すみません。

あくまでも、ｙ座標の大小でいこうと工夫してみましたが、すっきりした解法にはいたっておりません。

お礼

いえいえ、考えていただいてありがとうございます。

回答No.4

info22

#1,#3です。
A#3の補足です。

>f'(x)=(1/2)((cos(x)^2-2cos(x)-x^2+1)sin(x)-2xcos(x)+2x)/(cos(x)-1)^2
計算は大変ですね。
増減表を考える場合のf'(x)の役目はf'(x)=0となるxの値やf'(x)の符号ですから、
cos(x)=1の場合を除けば
f'(x)の分母：(cos(x)-1)^2＞0ですから
f'(x)の分子のg(x)=(cos(x)^2-2cos(x)-x^2+1)sin(x)-2xcos(x)+2x
の増減を調べればg(0)=0でg(x)は単調増加関数になるのでg(x)=0とするxはx=0だけとなります。
したがって、
x<0でg(x)<0、つまりf'(x)<0
x>0でg(x)>0、つまりf'(x)>0
となります。

cos(x)=1となる場合については
f(x)=(x^2＋(cos(x))^2+1-2cos(x)）/(2-2cos(x))
分子=x^2≧0(等号はx=0の時),分母＝0
　f(x)→∞
x=0の時は f(0)=lim(x→0)f(x)=1　…(●)
x≠0の時は
　分母>0,分子→+0でf(x)→∞
以上から
f(x)＞1（x→0でf(x)→1）…(◆)

>d^2≧r^2 ・・・(2)
このrの最大値が(◆)の下限になるので
　r=1
と決まります。

なお、このときの円の方程式は
x^2+(y-1+r)^2=r^2
にr=1を代入して
x^2+y^2=1
となりますね。

補足

x＞0でg(x)=(cos(x)^2-2cos(x)-x^2+1)sin(x)-2xcos(x)+2x＞0

を示そうと何回か微分してみましたが、なかなか上手くいきません。

回答No.3

info22

>ｒ≦（x^2＋cos^2x+1-2cosx）/(2-2cosx)・・・(3)
>になるので、(3)の右辺の最小値を求めれば良い。

その通りです。
右辺をf(x)とおいて,計算は大変ですがf(x)の最小値f(0)=1を求めればいいですね。
あるいは
g(x)=f(x)-1≧0を示しても良いですね。

>というふうに考え微分して増減表を作ろうとしましたが、(3)の右辺は二次関数と三角関数が<<混在>>しているため最小値を求めることができませんでした。
増減表を作ればいいですが、f'(x)の計算を間違えないようにを根気よく行えばいいでしょう。
f'(x)=(1/2)((cos(x)^2-2cos(x)-x^2+1)sin(x)-2xcos(x)+2x)/(cos(x)-1)^2
計算は大変ですね。

一方、
複雑な関数を扱う場合はテイラー展開（マクローリン展開）を利用することも考えられます。

補足

g(x)=(cos(x)^2-2cos(x)-x^2+1)sin(x)-2xcos(x)+2x＞0
を示す過程を教えていただけないでしょうか？

回答No.2

mesenfants

正解にたどりつけるかどうか分かりませんが、参考まで。

０＜ｔ＜９０度　として
余弦曲線上と円上のｙ座標をｔで表す。
cosｔ－（r sinｔ＋１－r）＞０
でどうでしょうか。
すると
（1-cost）÷（1-sint）＞r
となります。
ここから先がちょっと、どうするかなんです。

補足

＞　０＜ｔ＜９０度　として
余弦曲線上と円上のｙ座標をｔで表す。

とのことですが、このときx=rcostなので
y=cosx=cos(rcost)となり、
cos(rcost)－(rsint+1-r)≧0

上の式rの最大値を求めるのは困難であるように思います。

回答No.1

info22

>僕は円の半径をrとおいて「円の中心（０、１－ｒ）とｙ＝cosxとの距離」≧r　の関係からｒの最大値を求めようとしましたが、上手くいきませんでした。

やり方は良いと思いますので、やった途中計算を補足に書いて下さい。
そしてどこでうまく行かなくなったか、その計算式を示して下さい。

お礼

ありがとうございます。

円の中心とy=cosxとの距離をdとすると、
d^2=x^2＋(cosx－1+r)^2・・・(1)と書ける。
ここでd≧0,r≧0なのでd≧rの両辺を２乗すると、
d^2≧r^2 ・・・(2)
(2)に(1)を代入して整理すると
ｒ≦（x^2＋cos^2x+1-2cosx）/(2-2cosx)・・・(3)
になるので、(3)の右辺の最小値を求めれば良い。

というふうに考え微分して増減表を作ろうとしましたが、(3)の右辺は二次関数と三角関数が混同しているため最小値を求めることができませんでした。