数学の質問です。積分と体積。。

質問

[問題]
xy平面のy=x^2をy軸を中心に１回転させて容器を作る。
この上から、半径rの球を静かに入れるとき、
（１）容器の頂点（底）に球がつかない条件は半径ｒ＞Ｐを満たす時で、
（２）この時半径rの中心のｙ座標はｒ＾2＋Ｑ、球と容器の接点のｙ座標がr^2＋Ｒ となり、
（３）この時、球と容器で挟まれた部分の体積はΠＳ

である。（１）～（３）のＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓに当てはまる数値・文字を求めよ。

いろいろお試してみたんですが、一向に解答にたどり着かず…全然わからないので教えてください！

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#2,3,4です。

A#4の補足の質問の回答

>info22_様のヒントをもとに式を整理したものに加えて、自力で積分計算もやってみました。ルースリーフＢ５で4枚にも及ぶ計算になりました・・汗）

大変でしたね。

>Ｓ=(1/2)r^4 + (1/3)r^3 + (-1/6)r^2 + (1/24)r -1/96
>となりました。あっているでしょうか？
惜しいですね。
正：S=(1/2)r^4 - (2/3)r^3 + (1/4)r^2 - 1/96
または（因数分解した形）
S=(1/96)(6r+1)(2r-1)^3

解法１）なら
V1=π(16r^4-8r^2+1)/32
V2=π(16r^3-12r^2+1)/24
V=V1-V2=π(48r^4-64r^3+24r^2-1)/96
=π{(1/2)r^4-(2/3)r^3+(1/4)r^2 - 1/96}
=π((2r-1)^3)(6r+1)/96

解法2）なら
V3=π(16r^4 - 32r^3 + 24r^2 - 8r+1)/32
V4=π(8r^3 - 12r^2 + 6r - 1)/24
V=V3+V4=π(48r^4-64r^3+24r^2-1)/96
=π{(1/2)r^4-(2/3)r^3+(1/4)r^2 - 1/96}
=π((2r-1)^3)(6r+1)/96

検証)
・当然ですが、解法1)、解法2)でも同じ結果が得られます。
・Vの因数分解形V=π((2r-1)^3)(6r+1)/96を見ると
(a)(3)の問題ではr>1/2なのでこのrの範囲でV>0となることが分かります。
(b)r→1/2のとき「a→0」であるからの接点座標(a,a^2)→原点(0,0)となるのでVは当然
V=0となります。

お礼

解決しました。
何度も何度も有難うございました。

回答No.5

alice_44

←A No.2 補足
ずいぶん工夫をこらしたね。

お礼

有難うございました。

回答No.4

info22_

#3の補足の質問の回答

(3)
回転体の体積公式を使えば
V=π∫[0,y1] x1^2dy +π∫[y1,a^2] (x1^2-x2^2)dy
=π∫[0,y1] ydy +π∫[y1,a^2] [y-{r^2-(y-(1/2)-a^2)^2}]dy
（ここで,yは接円とy軸とが交わる点のy座標の小さい方の座標）
後は自分で計算してみてください。
πで括りだせば残りがSだよ。

この回答への補足

>(3)いまいちよくわかりません。自力で解答までたどり着きませんでした。
>円：x^2+{y-(r^2+1/4)}=r^2
単純ミス
正：円：x^2+{y-(r^2+1/4)}^2=r^2

>放物線：y=x^2
>円とｙ軸の交点が{0、r^2-r+(1/4)}

>示された積分が理解できなかったので自分で解こうとした途中過程まで示します。。

>Ｖ＝∫[-a→a]｛(y1)^2-(y2)^2｝dx
>ただしｙ1=(r^2+1/4)-√（r^2-x^2）, y2=x^2
このVの積分は、y軸の周りの回転体の体積とはまったく異なる意味のない積分です。

>となり、私の数学力ではとてもとききれるような積分でなく、どうしたらいいのかと途方に暮れています。
したがって上のV=の積分を実行する意味はまったくありません。

>積分の仕方でｄｘでなくｄｙにするのも手なのかなと思ったんですが、ｄｙの時にもどこからどこを引いて、被積分関数がなんなのかわかりませんでした・・

Vの積分は微小な体積素dVを立体全体にわたって加え合わせる積分の式を立て積分を実行すれば求まります。積分の順序は立体全体の範囲をくまなく積分できていれば良いです。

>助けてください！！アドバイスお願いします。
高校で習う軸の周りの回転体の体積公式を使うのが元も簡単だと思います。

求める立体のXY平面上での範囲はx=-a～a,y=0～a^2ですが、
体積Vの求め方は2通りあります。
■解法1) y=x^2の回転体(y=0～a^2)の体積V1から
円y=(r^2+1/4)-√（r^2-x^2) (r^2=a^2+(1/4))の回転体(y=r^2+(1/4)-r=(r-(1/2))^2～r^2-(1/4)の体積V2を差し引いた
V=V1-V2により求める方法
■解法2)立体を「y=0～r^2+(1/4)-r」の範囲と「y=r^2+(1/4)-r～r^2-(1/4)」の範囲に分割して、それぞれの体積V3とV4を求め、加えあわせて
V=V3+V4により求める方法
とがあります。A#3の(3)の体積Vの求め方は、解法2)の体積Vの求め方になります。

ここでは解法1)のやり方で回転体の体積を求めて見ましょう。
V1=π∫[0,a^2] x^2 dy=π∫[0,a^2] y dy=[(1/2)y^2]_(y=a^2)
=(1/2)a^4=(1/2)(r^2-(1/4))^2

V2=π∫[(r-(1/2))^2,r^2-(1/4)] x^2 dy
=π∫[(r-(1/2))^2,r^2-(1/4)] [(r^2)-{y-(r^2+(1/4))}^2] dy
=π(r^2)(r-(1/2))-(π/3)[{r^2-(1/4)-(r^2+(1/4))}^3-{(r-(1/2))^2-(r^2+(1/4))}^3]
（積分は終わりましたので後は式を整理してください）

V=V1-V2　を計算し、全体をπで括れば、残りがSです。

A#3書いたように解法２）のV=V3+V4に分割して積分する方法も上の積分を参考にしてやってみてください。

なお、最終結果にa^2が出てきた場合はa^2=r^2-(1/4)を代入してrだけの式にまとめてください。

お礼

何度も丁寧にご回答いただきましてありがとうございました。
あと少しで解決です。

補足

Sの答えが出ました。
info22_様のヒントをもとに式を整理したものに加えて、自力で積分計算もやってみました。ルースリーフＢ５で4枚にも及ぶ計算になりました・・汗）

Ｓ=(1/2)r^4 + (1/3)r^3 + (-1/6)r^2 + (1/24)r -1/96

となりました。あっているでしょうか？

回答No.3

info22_

A#1の補足の行き詰っている点について

>と考え、もとめるとa=0でαβ=1/4, 放物線の頂点とβの距離=1/2
>となって半径が一致しない…
「αβ=1/4」ではなくて「αβ=√(1/4)=1/2」ですから半径r=1/2で、ちゃんと一致しているのでは？

>しかもa=0で接点が（0、0）・・・・・・・解答の形に合わない。・・・・
r=1/2で一致し、そのときの接点が(0,0)で矛盾がないですよ。
rが1/2以下になると接点は(0,0)だけになり
接円は
x^2+(y-r)^2=r^2 (0<r≦1/2)となります。
したがって
r=(αβ)=√(a^2+1/4)＞1/2(=P)で原点を通らない接円になります。
このときの円の方程式は
x^2+(y-1/2-a^2)^2=r^2
r=√(a^2+(1/4))>1/2
このとき円の中心のy座標は「(1/2)+a^2」で円の半径r=√(a^2+(1/4))と比較すると
((1/2)+a^2)^2-r^2=(a^4+a^2+(1/4))-(a^2+(1/4))=a^4>0　(∵r>1/2のときa>0)
∴βのy座標（円の中心のy座標）＞r
これは接円がa>0(r>1/2)で原点以外の接点(a,a^2)でのみ接する事を意味しますね。
もちろんy軸対称なので(-a,a^2)も接点になることはいうでもないです。

（2）
r>1/2のときの接円の半径円の中心のy座標はa^2+1/2=a^2+Q,
接円の半径r=√(a^2+(1/4)…(★)
接点のy座標a^2を(★)の式から求めると
a^2=r^2-(1/4)=r^2+R
これでQ,Rは分かるだろう。

(3)
回転体の体積公式を使えば
V=π∫[0,y1] x1^2dy +π∫[y1,a^2] (x1^2-x2^2)dy
=π∫[0,y1] ydy +π∫[y1,a^2] [y-{r^2-(y-(1/2)-a^2)^2}]dy
（ここで,yは接円とy軸とが交わる点のy座標の小さい方の座標）
後は自分で計算してみてください。
πで括りだせば残りがSだよ。

がんばって！
分からない箇所は補足できいて下さい。

お礼

何度も丁寧にご回答いただきましてありがとうございました。

補足

(3)いまいちよくわかりません。自力で解答までたどり着きませんでした。
円：x^2+{y-(r^2+1/4)}=r^2
放物線：y=x^2
円とｙ軸の交点が{0、r^2-r+(1/4)}

示された積分が理解できなかったので自分で解こうとした途中過程まで示します。。

Ｖ＝∫[-a→a]　｛（y１）＾2-(y2)^2｝ｄｘ

ただしｙ１=(r^2+1/4)-√（ｒ＾2-x^2）, y2=x^2

となり、私の数学力ではとてもとききれるような積分でなく、どうしたらいいのかと途方に暮れています。

積分の仕方でｄｘでなくｄｙにするのも手なのかなと思ったんですが、ｄｙの時にもどこからどこを引いて、被積分関数がなんなのかわかりませんでした・・

助けてください！！アドバイスお願いします。。

回答No.2

alice_44

放物線上の点 A(x,y) を通る放物線の放線が
y軸と交わる点を B(0,u) とする。
とりあえず、u を x の式で表せ。

線分ABの長さの下限が P であり、
ABの長さを r としたときの u と y
の値を求めれば、Q と R が判る。

Q,R が求まれば、回転体の体積公式を使って、
(3)の積分が立式できる。

お礼

ANo.1の回答をいただいてすぐパソコン画面更新せず、再度考え直しました。
自分がどこまでできていて、詰まったところを明確にするため補足を打ち直し（うち慣れてないのでかなり時間かかりました）ては考えを繰り返して、一時間半ぐらい使ってました。。。
メールボックスを見たらalice_44様からから新たな回答をいただき、同じような考えで解いていたので、行けるのではないかと思い、さらに挑戦しましたがうまくいきませんでした。
寝る前にさらに確認したところinfo22_様からさらに具体的な回答をいただいた上、
「がんばって！
分からない箇所は補足できいて下さい。」という言葉もいただいたので
補足して再度質問しました。

私の対応がalice_44様の気分を害することであったなら、申し訳ありません。
無視したわけでもなんでもありませんので、誤解なきようお願い申し上げます。

回答No.1

Tacosan

どんなことを「試してみた」んでしょうか?

(1) と (2) が実は「立体」など全く関係ないことには気づいてる?

お礼

有難うございました。

補足

接線と法線求めました。
接点α（a, a^2）として接線：y=2ax-a^2
法線：ｙ=(-1/2a)(x-a)+a^2=(-1/2a)x+1/2+a^2

法線がｙ軸と交点を持つとき、その交点の座標βは（0、a^2+1/2）
半径ｒの円だから＜αβ=√a^2+1/4＞と＜放物線の頂点とβの距離=a^2+1/2>が等しく、かつ、最少になるときそのときの値がｒの最小値で、それ以上なら頂点に触れることはない。

と考え、もとめるとa=0でαβ=1/4, 放物線の頂点とβの距離=1/2
となって半径が一致しない…
しかもa=0で接点が（0、0）・・・・・・・解答の形に合わない。・・・・

わからない…という状態です。。