絶対値記号のある方程式の解き方

質問

|x-1|=2x
という方程式を解くときに、場合分けをして、

|x-1|={ x-1 (x≧1のとき)・・・(1)
　　　 -(x-1) (x<1のとき)
とし、それぞれの条件の下で解いていくのですが、(1)の場合で、

x-1=2x
として
-x=1
よって
x=-1
と解いてしまうのですが、これをもとの式に代入すると成り立たないので、この解は間違っていることになります。解き方の何処がおかしいのでしょうか？

回答No.5

noname#252183 · ベストアンサー

#3 です。
#4 さんご指摘の条件は全く見落としていました。少し考察してみました。
方程式
| ｆ (x) ｜＝ ｇ (x)
を解く場合、 ｇ (x)≧0 の条件が本当に必要になるでしょうか。

#3 の図に端的に見られるように、ｙ1＝ | ｆ (x) ｜ は必ず ≧0（ｘ軸より上） になっており、ｙ2＝ ｇ (x) は正負があります。
「（折れ曲がった）直線 ｙ1 と（まっすぐな）直線 ｙ2 の交点のｘ座標を求めること」イコール「方程式 | ｆ (x) |＝ ｇ (x) を満たすｘを求めること」です。

絶対値付きの ｙ1は必ず ｙ1≧0 なので、ｙ2≦0（ｘ軸より下）の領域では、交点ができようがないです。
従って（右辺）≦０ の領域は方程式を解く過程で自動的に排除されることになり、条件として考慮する必要はないことになりますね。
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なお、高校の記述問題では | ｆ (x) ｜＝ ｇ (x) なら ｇ (x)≧0 の条件も付く、とした方が、減点を打ち消す加点を稼げる気がします。
試験中は必要があるかどうか深く考える余裕はないので、内容が正しい限り、書いておくことをお勧めします。

お礼

回答ありがとうございます。グラフを書いてみると一発で分かりますね。

回答No.6

naniwacchi

すいません、本線からそれてしまうかもしれませんが、コメントします。
#5の方の説明、なかなか興味深い内容でした。

ただし、いまの問題は「方程式を解く（xの値を求める）」ことが目的ですので、
解の存在条件とは異なると思います。

わたしがイメージしたのは、絶対値のついた方程式で「両辺を2乗する」という方法をとったときです。
このとき、「もとの方程式の解は、少なくとも x≧0の条件を満たしていないとダメ」ということです。

ある意味、対数計算における真数条件に似てるかとも思います。

回答No.4

naniwacchi

場合分けに対する解が、場合分けの条件を満たさないのであれば、その解は不適（解なし）ということになります。
先の方の回答のとおりです。

それよりも気になったのは、左辺が絶対値の式ですので、
（右辺）≧０ すなわち x≧０
という条件も存在するということです。
よって、場合分けするとしても
(1) ｘ≧１
(2) ０≦ｘ＜１
ということになります。

回答No.3

noname#252183

下図で
点Ｐ（１／３、２／３)　は青直線　ｙ＝｜ｘ－１｜　と赤直線　ｙ＝２ｘ　の交点ですが、
点Ｑ（－１、－２） は、青直線と赤直線の交点になっていません。

お礼

回答ありがとうございます。グラフを書いてみると一発で分かりますね。

回答No.2

pasocom

そこまでの解き方はおかしくありません。求めた解が場合分けの条件に合わなければそれは「解」ではないというだけのこと。
もう一つの場合（x<1のとき）を解けばいいのです。

回答No.1

gohtraw

場合分けをして求めた解が元の場合分けと矛盾する場合、その解は解ではありません。この例でいえばｘ－１が正のとき、この方程式は解を持ちません。
　ｙ＝２ｘ－|x-1|
としてグラフを書いてみるとよく判ると思います。

お礼

よく分かりました。場合分けをしてもおかしかったらその条件の時には解を持たないということなんですね。