微分の問題

質問

x^3-3ax+4a=0・・(1)が相違なる三実数解を持つような定数aの値を求めよ

f(ｘ)=(1)の左辺
とおいて、極値を持つ時のｘの値を求めるとｘ＝0、2aとなります。

求める条件は「f(0)*f(2a)<0」
だけでいいのかなと思ったのですが、解答には「2a≠0」という条件も含まれていました。
でも実際同じ値を掛けて、負になることってないように思うので、この条件はいらないんじゃないかなと思ったのですが、どうしてこの条件が必要なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

もし、2a≠0と書かなければ、2a=0の時f(0)*f(2a)<0となれば、それは解に含まれる事になります。もしあっても解には含まれないのですから2a≠0が必要です。

確かに2a=0の時f(0)*f(2a)≧0となり、自動的に除外されますが、それは、頭の中で2a=0の時、f(0)*f(2a)={f(0)}2≧0という計算をして、導き出されたものです。ですので、2a≠0を書かなければ、このような計算をしなかったことになります。

2a≠0と書くのはstripeさんのためにもなると思います。
例えば、質問と同じ様な問題で、
「・・・相違なる二実数解を持つような・・・」
という問題ですと、
f(0)*f(2a)≧0、2a≠0
と、2a≠0がなければ、違う答えになります。

もし日頃から2a≠0とする事に気をつけていれば、このような問題で、極値を持つ条件を見落とす事が少なくなりますね。

「2a≠0」なんて1行ですみますし、おまじないだと思って書きましょう

お礼

＞2a≠0を書かなければ、このような計算をしなかったことになります。

結果だけみて、必要無さそうだから書かない、ってのはダメですよね。

＞「・・・相違なる二実数解を持つような・・・」
こんな場合は、答えにも影響してしまいますよね。
気をつけます。

アドバイス有り難うございました。

回答No.2

noname#24477

確かにおっしゃる通りですね。
a=0のときはf(0)*f(2a)＝f(0)*f(0)<0になることは
有りません。最初に断らなくても後から自動的に表れる
でしょう。

しかし採点者の気持ちで解答を見てみましょう。
「2a≠0」が書いてないと、この解答者は2a=0のとき
極値が無いことが分かっていない（見落としている）のではないか、と思ってしまいます。
実際そういう解答者もいるでしょう。

「同じ値を掛けて、負になることってない」と断るより
最初から「2a=0の場合は極値を持たないので2a≠0」
と言っておいたほうが良いと思います。

お礼

＞しかし採点者の気持ちで解答を見てみましょう。
「2a≠0」が書いてないと、この解答者は2a=0のとき
極値が無いことが分かっていない（見落としている）のではないか、と思ってしまいます。
実際そういう解答者もいるでしょう。

はい、その通りですね。
先生のほうからすると、わかっているのかわかっていないのかがよくわかりませんもんね。

アドバイス有り難うございました。

回答No.1

fushigichan

stripeさん、こんにちは。

＞f(ｘ)=(1)の左辺
とおいて、極値を持つ時のｘの値を求めるとｘ＝0、2aとなります。

ということから考えると、もともとの式(1)は、

x^3-3ax^2+4a=0・・・(1)

でよろしいでしょうか。
でないと、
f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)
とならないですね。

さて、
＞求める条件は「f(0)*f(2a)<0」
だけでいいのかなと思ったのですが、解答には「2a≠0」という条件も含まれていました。

まず、極値を持つようなxの値が、
x=0,2a
だと分かりましたね。これで増減表を書くわけですが、
もしも、2a=0としてしまいますと、

f'(x)=3x^2
となりますので、
f'(x)≧0
となります。そして、そのf'(x)=0となるのは、x=0
のときだけになってしまいます。

(1)は、x^3=0
というグラフになりますね。これは、x=0でx軸に接しています。
ここで、３重解を持っているんですね。
ですから、「異なる３実数解を持つ」という条件に反してしまうんです。

というわけで、2a≠0
という条件は必要になってきます。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください！！

お礼

どうもありがとうございます！
ちなみに昨日の問題はやってみました(＾＾)ｖ

ｙ＝ｘ＾3のグラフは、教科書とかに極値を持たない例として載っていましたね。忘れていました。

参考にさせていただきます。アドバイス有り難うございました！