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積分の意味のコトですが。
学校で、積分すると面積になると習いました。 例えば、 1 ∫x^2dx = 1/3(1)^2 - 1/3(0)^2 = 1/3 = lim1/n[(1/n)^2 + (2/n)^2+ ・・ 0 n→∞ ・・ + {(n-1)/n}^2 ] = lim1/6(1 - 1/n)(2 - 1/n) = 1/3 n→∞ だそうですが、なんでですか？たしかに極限とってる式のトコは面積ですが。 1 なぜ、∫x^2dx が、y=x^2,x=1,y=0に囲まれた部分の面積になるんですか？ 0 ビブンが接線の傾きになるコトはわかるんですよ。 しかし、その逆、積分はどうしても、なぜ面積になるのかわからないので、 気持ち悪くて、、、 なんか、教科書って、微分はどうやって傾きになるのかハッキリ書いてあるのに、 積分が面積になるってことは、ハッキリ書いてなくないですか？ ぼくのだけかなぁ、、、
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- redbean
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以前の回答(#5)に補足です。 >ところどころダウトかもっぽいトコを >発見したので、報告いれときます。 そのとーりです。 そこが、正確さを犠牲にしたところです。 実は最終的にはこれでいいのです。 補足説明をしておきます。 まず、「短冊」についてですが、たしかに 短冊＝長方形とF(x2)-F(x1)は完全に一致しません。 でも次のように考えてみてください。 f(x)のグラフ上に幅Δxの短冊を並べるとします。 短冊の右上の角がf(x)のグラフ線上に来る、と でもしておきます。 F(x)の定義と同様に、短冊の合計面積を表す関数を G(x)と置きます。 Δxが小さいほど、G(x)とF(x)の差は少なくなりそう なのは直感的に分かると思いますが、実はこの差は Δxを十分小さくすれば、幾らでも少なくできるのです。 従ってΔxを必要なだけ小さく取れば、いくらでも精度の 高い議論をすることができるので、F(x2)-F(x1)を「短冊」 としても構わないのです（もちろん厳密な証明のやり方 は別にあります。）。 次にF'(x1)=f(x2)を証明しただけだ、という指摘。 Δx→０を考えているのですから、つまりx2→x1です。 ということはf(x2)→f(x1)となって、上式の右辺はf(x1) と同じことです。 少しは納得してもらえたでしょうか。まだ、「あやしい」 と思う場合は、いっそのことε－δ論法できちんと学べは すっきりすると思いますが（私はそうでした）、遠い 道のりです。
お礼
なるほど、ようするに、 >(F(x2)-F(x1))/Δx ---(1) >を考えてみましょう。 >分子は例の「短冊」１つにあたりますので >f(x2)Δxです。よって > >式(1)=f(x2)Δx/Δx >=f(x2) ---(2) これらの式は、Δxが非常に小さい世界で考えよう、というコトだったんですね。 納得できました! まぁ、まだ完璧に、というわけじゃないんですが、、 たとえば、F(定数)が何を意味するのか、とか。 >次にこの関数の原点からxまでの（グラフ上の）面積を >表す関数をF(x)と置いてしまいます。 とありますが、もしかして、F(a)っていうのは、原点から、に限らず、 どこからかは知らないけど、「どっかからaまでの面積」というコトですか？ それを解りやすくして下さろうとして、”原点から”にしてくれた、ということでしょうか？ 何はともあれ、もう少しで夏休みということで、もうちょっと自分なりにベンキョ してみます。その上で解らないことがあったらまた改めて質問してみようと 思います。 ありがとうございました。
補足
あの後、∫f(x)dx(aからb)が、f(b)の不定積分の一つというところまで は理解できたんですが、その後がわからずしばらく 考えることを断念していたのですが、 このたび、ヒマができたので、参考書片手にもっぺん考えてみました。 そしたらやっと解ったというコトで, ポイント発行ついでに、ココに報告をさせていただきます。 d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b)だから、この両辺をｂで積分して、 ∫f(x)dx(aからb) = F(b) + C ( F(b)はf(b)の不定積分の一つで、Cは任意定数 ) これよりb = aとして、0 = ∫f(x)dx(aからa) = F(a) + C よって、C = -F(a) これを2つ目の式に代入して、∫f(x)dx(aからb) = F(b) - F(a) ここでｂを定数とみなせばOK、 ということだったんですね。 7月上旬のときは、 d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b) という式を実際に紙に書かずに考えていたので 気付けなかったようです。 そんなこんなでやっとスッキリすることができました。 ありがとうございました。
- brogie
- ベストアンサー率33% (131/392)
No.4のbrogieです。 >F(a)-F(b) = limΣf(xi)Δxi が成り立つんですか？ (F'(x)=f(x)) >つまり、なぜ、F(a)-F(b) という計算で面積がでてくるんですか？ >これがフシギで×6仕方ないんですよ。 >どうか、よろしくお願いします。 この疑問については、すでに、後続の方々が詳しく回答されているようです。また、rei00さん紹介のサイトにもあるようですので、そちらを参照してください。 そちらを読んでも納得されなければ、小生も説得する自信はありません。後はあなた自身でお考え下さい。こんな回答で申し訳ありませんm(._.)m
お礼
そろそろ夏休み。ヒマもタップリあるトキが近い、といふことで、 紹介されたページをじっくし読んでみたいと思います。 それでは、ありがとうございました。
- rei00
- ベストアンサー率50% (1133/2260)
「これは，定積分の定義が・・・・」といった回答を書こうとしたら，brogie さんに先を越されましたね。 折角ですので，参考ペ－ジを紹介しておきます。「やさしい数学講座」というペ－ジで，積分については「第１３章 微分と積分－イントロダクション－」，「第１５章 積分って何だろう！？」，「第１６章 面積って何だろう！？」あたりを御覧下さい。
お礼
アドバイスありがとふございました。 紹介してくださったページ、ちょっと覗いてみたんですが、 とても解りやすそうですね。概念を重んじているような印象で、教科書とは 一味違いますね。 こんどユックリとタンノウしようと思います。
- redbean
- ベストアンサー率38% (130/334)
私も高校のとき悩んだ問題です。 これは大学のはじめの頃に「微積分学の基本定理」 として出てくるので、そこで厳密に証明されます。 直感的に説明してみます。正確さは犠牲にしますので その点ご理解ください。 関数f(x)があるとします。 次にこの関数の原点からxまでの（グラフ上の）面積を 表す関数をF(x)と置いてしまいます。 次に、非常に近い２点 x1, x2 を考えます。 x2-x1=Δx とします。 (F(x2)-F(x1))/Δx ---(1) を考えてみましょう。 分子は例の「短冊」１つにあたりますので f(x2)Δxです。よって 式(1)=f(x2)Δx/Δx =f(x2) ---(2) (1)と(2)を見てください。 Δxをゼロに限りなく近づければ、 F(x)の微分がf(x)になってることが分かります。 以上でf(x)の面積を表す関数が、実は積分だったと 証明できました。
お礼
回答ありがとふございました。 はじめ、おぉ、と思ったのですが、ところどころダウトかもっぽいトコを 発見したので、報告いれときます。 >(F(x2)-F(x1))/Δx ---(1) >を考えてみましょう。 >分子は例の「短冊」１つにあたりますので とありますが、これって、「短冊」ではないのではないでしょうか？(短冊って、 長方形のコトですよね？) また、 (F(x2)-F(x1))/Δx は、Δx→０とすると、F'(x1)になるので、 (2)とつじつまが合わないのではないでしょうか？
- brogie
- ベストアンサー率33% (131/392)
y = f(x)をaからbまで短冊に切って、その面積を求めてみましょう。 x=xiのときの高さyi=f(xi)、短冊の幅をΔxiとすると、短冊の面積は、 f(xi)Δxi これをaからbまで和を取れば Σf(xi)Δxi となります。短冊の幅を小さくしていくと、 limΣf(xi)Δxi = ∫f(x)dx （aからbの定積分） これが定積分の定義です。 積分は不定積分から定積分へと教わりますが、定積分から導入した方が分かり易いかもしてません。微積分の教科書にはどれにも書いてありますから、すでにご存知ですネ？分かった積りになるのだ積分でしょうか？、また、∫の記号はSum（和）のSを上下に引き伸ばしたものです。これであなたが納得させる自信ありませんm(._.)m
補足
回答ありがとふございました。 なるほど、、、 >limΣf(xi)Δxi = ∫f(x)dx （aからbの定積分） これは定義だったんですか! では、なぜ、 F(a)-F(b) = limΣf(xi)Δxi が成り立つんですか？ (F'(x)=f(x)) つまり、なぜ、F(a)-F(b) という計算で面積がでてくるんですか？ これがフシギで×6仕方ないんですよ。 どうか、よろしくお願いします。
こんな公式があったことすら、既に忘却の彼方にいってる事に改めて驚く自分ですが・・・ 質問の意図とは少し外れますが・・ “積分”なる呼称が結構判りづらいのは確かです。これが現実社会でどれだけの必要性が・・と思いきや以外と技術系(設計、開発関連)ではかなりこれを要求されます。 積分の一番（？）出番の多いのは，特にエネルギー計算などに多く使います。 たとえば，身近な物で言えばコンパクトカメラや携帯電話などの電池の消耗度合いの計算にこれを使います。フラッシュをたいた瞬間のエネルギー(電気)消耗量，電話が着送信した時のエネルギー消耗量などです。 つまり，横軸に時間軸をとり縦軸にエネルギー値をとり時間変化に伴うエネルギーの変化量の総和が総消耗（ないし単位時間あたり）値になるわけです。これは単純に面積値として算出を行います（最近の計測器などはこの辺が標準的に機能の一部に入っていて計るだけで積分してくれる物も不通です・・かなり，知ったかぶりですが・・・）これを換算して電池の容量を決定していくわけです。 積分は公式で考えるとかなり困惑します。逆にグラフに表れた線分と他の線分の内に出来る面積を計算する為の式であると言う事で理解（それがでけへん！ちゅーのに・・）するしかないのではないでしょうか？？（うわー！！いいかげん・・） ・・というわけで，公式の中味も判らず，回答する暴挙をお許し下さい・・
お礼
ありがとふございました。 >積分は公式で考えるとかなり困惑します。逆にグラフに表れた線分と他の線分の内>に出来る面積を計算する為の式であると言う事で理解（それがでけへん！ちゅーの>に・・）するしかないのではないでしょうか？？ そうですねぇ…ぼくも、高校まではそれでゴマカシテきました。 しかし、今、大学に入って、電磁気学などの学問を学ぶにあたって、 キッチシ根底から理解してないと、かな～り気持ち悪いんですよ。 しかも、ベクトル解析を教えてくれてる講師の方の講義がわかりにくて×5… とちゅうで、 「あっ、わからなくなっちゃった。考えてくるので、このつづきは来週ね。」 とか言って、途中で講義を中断する始末。(まあ、中断はまだ1回だけですけど) そんな訳で、電磁気学がわからん。そもそも積分が厳密にわからん。 というわけで、初心にかえり、高校の教科書をひっぱりだしてきたというワケです。
- Q2kirai
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微かに分かるのが「微分」で、積もり積もってわからなくなるのが「積分」です。 （これこれ！） 「無限に細かな短冊にしてその面積を計算し、これを全部加えたものが積分」という 解説もありましたが．．
お礼
ありがとうございました。 たいへんわかりやすそうなページですね。 ちょっと今忙しいので、あとでじっくし見てみようと思います。
- ETK
- ベストアンサー率0% (0/2)
お礼
ひじょおに詳細な回答ありがとうございました。 なんか、わかったような、まだわからないような、というのが正直な ところですが。 部分部分ではわかるんですが、全てを組み合わせて1つの絵が出来上がらないんですよね。 いや、ぼや～っとした絵はあるんですが、輪郭がキリッとしてないというか… まだまだぼくに、数学力が足りないということですね。精進します。
補足
あの後しばらく考えることを断念していたのですが、 このたび、ヒマができたので、参考書片手にもっぺん考えてみました。 そしたら、完全理解まで後一歩だったことが判明したので、 ポイント発行ついでに、ココに報告をさせていただきます。 ∫f(x)dx(aからb)が、f(b)の不定積分の一つというところまで解っていたんですが、 その先が解らずに挫折していました。が、このたび、ふと気付きまして、めでたく 理解することができました。 d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b)だから、この両辺をｂで積分して、 ∫f(x)dx(aからb) = F(b) + C ( F(b)はf(b)の不定積分の一つで、Cは任意定数 ) これよりb = aとして、0 = ∫f(x)dx(aからa) = F(a) + C よって、C = -F(a) これを2つ目の式に代入して、∫f(x)dx(aからb) = F(b) - F(a) ここでｂを定数とみなせばOK、 ということだったんですね。 7月上旬のときは、 d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b) という式を実際に紙に書かずに考えていたので 気付けなかったようです。 そんなこんなでやっとスッキリすることができました。 ありがとうございました。