伊藤積分について

質問

伊藤確率積分の定義のところで質問です。
まずは、伊藤積分を考えるきっかけは、普通のリーマン積分ができない。という事ですが、教科書を読んでいくと、伊藤積確率積分をリーマン和で近似して自乗平均極限値をとって伊藤積分を定義しています。
つまり、わからない所は、伊藤積分をリーマン和で近似してもよいのか？という事です。
お願いします。

回答No.2

moumougoo · ベストアンサー

リーマン積分はリーマン和をとるときに関数のサンプリング値（？）を上と下で抑えて、つまり、区間のどこの値をとっても同じ値に収束して上手くいく場合の積分定義であるのに対して、ブラウン運動のようなものの場合はサンプリング値の場所をどこにするかで積分が変わってしまうので上手くいかないということですよね。

上手くいかないときどうするか？

表現したいことを整理すると上手くいかないのは自然だったので、自然な定義になるように、考え方を変えよう！というのが伊藤積分ですよね。そしてそれは、マルチンゲールと相性のよいところでサンプリング値をとることにしましょうというものですよね。

つまり、リーマン和はとります（取れるのしか意味のある積分になりません）。もちろん、リーマン積分が成り立たなくても、サンプリング値のとり方が違うのでＯＫです。ということですよね？

お礼

はい。
少し頭が混乱してたみたいですｗ

今は大丈夫です。
ありがとうございました。

回答No.1

yaksa

昔、勉強したことはあるんだけど、定義の細かい所は忘れてしまいました。感覚的には、リーマン積分できないから、確率収束（つまり自乗平均極限値）で積分を定義することにしようって感じだと思います。
＞伊藤積分をリーマン和で近似してもよいのか？
近似ではなくて、これが伊藤積分の定義だと思いますが。

かなり忘れているので自信なしです。
教科書を見なおせばいいんでしょうが、ultraazusaは教科書を目の前にしてるんでしょうし。

あと、専門的な質問は、ここより2chとか
http://www1.ezbbs.net/19/dslender2/
http://yuki.to/
こっちでしたほうが答えがつくと思います。

お礼

お礼、遅くなってごめんなさい。
ありがとうございます。