２次の正方行列の問題

質問

数学素人です。ご教授下さい。

A＾２＝０を満たす２次正方正方行列Aを求めよ。ただしA＝０ではない。

回答No.6

reiman · ベストアンサー

入力ウィンドウが小さいのでどうしても書き間違いがでますね。

A=
[a b]
[c d]
とすると
A^2=0かつA≠0の条件は以下と同値

(条件1)
a^2+bc=0
b(a+d)=0
c(a+d)=0
bc+d^2=0
a,b,c,dの少なくとも1つが0でない

1)bc=0のとき
条件1は以下と同値。
a=d=0かつb,cのうちいずれかが0でないこと
すなわち
xを0でない任意の数とすると、
Aは
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
である。

2)bc≠0のとき
条件1は以下と同値。
a^2+bc=0
a+d=0
これはさらに以下と同値
d=-a
c=-a^2/b
すなわち、
x,yを共に0でない任意の数とすると、
Aは
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
である。

1)と2)をまとめると、
xを任意の数としyを0でない任意の数として、
Aは
[0 0]
[y 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

回答No.5

reiman

まだ、dと書くべき所をbと書いていた所があったので
方針を変えてもっと簡単に書くと

A=
[a b]
[c d]
とすると
A^2=0かつA≠0の条件は以下と同値

(条件1)
a^2+bc=0
b(a+d)=0
c(a+d)=0
bc+d^2=0
a,b,c,dの少なくとも1つが0でない

1)bc=0のとき
条件1は以下と同値。
a=d=0かつb,cのうちいずれかが0でないこと
すなわち
xを0でない任意の数とすると、
Aは
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
である。

1)bc≠0のとき
条件1は以下と同値。
a^2+bc=0
a+d=0
これはさらに以下と同値
d=-a
c=-a^2/b
すなわち、
x,yを共に0でない任意の数とすると、
Aは
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

以上まとめると、
Aは
xを任意の数としyを0でない任意の数として、
Aは
[0 0]
[y 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

お礼

ご丁寧にご解説ありがとうございます。
展開して、２パターンで考えればよいのですね。
なるほどです。ありがとうございました。

回答No.4

reiman

x,yを共に0でない数とすると、Aは
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

と同値な表現として以下の様にしてもよい。

xを任意の数としyを0でない数として
[0 0]
[y 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

回答No.3

reiman

修正漏れ

A=
[a b]
[c d]
としてA^2の4成分を0としてみると
a^2+bc=0…(1)
b(a+d)=0…(2)
c(a+d)=0…(3)
bc+d^2=0…(4)
となる。
a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となりbcのどちらか一方のみ0。
同様にb=0とするとa=0となりbcのどちらか一方のみ0。
またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。
同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。
以上まとめると
a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
の形をしている。
a,b,c,dがいずれも0でないとき
(1),(2),(3),(4)式は
a+d=0
a^2+bc=0
と同値である。
よって
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
である。
まとめると、
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

回答No.2

reiman

単純書き間違い

A=
[a b]
[c d]
としてA^2の4成分を0としてみると
a^2+bc=0…(1)
b(a+d)=0…(2)
c(a+d)=0…(3)
bc+d^2=0…(4)
となる。
a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となる。
同様にb=0とするとa=0となる。
またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。
同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。
以上まとめると
a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき
[1 x]
[0 1]
か
[1 0]
[x 1]
の形をしている。
a,b,c,dがいずれも0でないとき
(1),(2),(3),(4)式は
a+d=0
a^2+bc=0
と同値である。
よって
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
である。
まとめると、
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[0 x]
[0 0]
か
[0 0]
[x 0]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。

回答No.1

reiman

A=
[a b]
[c d]
としてA^2の4成分を0としてみると
a^2+bc=0…(1)
b(a+d)=0…(2)
c(a+d)=0…(3)
bc+d^2=0…(4)
となる。
a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となる。
同様にb=0とするとa=0となる。
またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。
同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。
以上まとめると
a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき
[1 x]
[0 1]
か
[1 0]
[x 1]
の形をしている。
a,b,c,dがいずれも0でないとき
(1),(2),(3),(4)式は
a+d=0
a^2+bc=0
と同値である。
よって
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
である。
まとめると、
x,yを共に0でない数とすると、Aは
[1 x]
[0 1]
か
[1 0]
[x 1]
か
[x　　　　y]
[-x^2/y　-x]
のいずれか。