代数の展開について♪

質問

早速ですが、(a＋b)のn乗を展開した時、この各項の係数がパスカルの三角形で求められるのはなぜか?と言う問題に答えてください!なるべく解りやすく、丁寧に教えていただければ幸いです。よろしくお願いします!!中学生でもわかるように易しく教えてください!!

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

パスカルの三角形の上からn段目の左からk番目の数字をx(n.k)とします。

x(n,k)はn-1段目の左からk-1番目の数x(n-1,k-1)と左からl番目の数x(n-1,k)の和になります。

ここで、n-1段目に並ぶ数字が(a+b)^(n-1)を展開した各項の係数であるとします。
このとき、
a^(n-k+1)*b^(k-2)の係数がx(n-1,k-1) (A)
a^(n-k)*b^(b(k-1)の係数がx(n-1,k) (B)
となります。

ここで(a+b)^n=(a+b)^(n-1)*(a+b)
となりますが、この右辺を展開して出てくるa^(n-k+1)*b^(k-1)の項の係数を考えて見ます。
それは、
(a+b)^(n-1)を展開したときa^(n-k+1)*b^(k-2)の項にbをかけたもの (C)
(a+b)^(n-1)を展開したときa^(n-k)*b^(k-1)の項にaをかけたもの (D)
を足したものになります。
(C)の係数は(A)からx(n-1,k-1),(D)の係数は(B)からx(n-1,k)となります。
このとき、左辺のa^(n-k+1)*b^(k-1)の係数はx(n,k)ですから
x(n,k)=x(n-1,k-1)+x(n-1,k)
が成り立ちます。

n=1のとき,(a+b)^n=a+bですからx(1,1)=aの係数=1,x(1,2)=bの係数=1で成り立ちます。

n=2-1=1のときに係数がパスカルの三角形の数字で表せますので、上記の議論からn=2のときも成り立つ。
n=3-1=2のときに係数がパスカルの三角形の数字で表せますので、上記の議論からn=3のときも成り立つ。
・・・
全てのnでパスカルの三角形の数字が(a+b)^nの係数となることが言えます。
(このようにn=1のとき正しいことを示し、次にn=kの時に正しいことを仮定するとn=k+1の時に正しいことを示せれば、全ての自然数について正しいと示す方法を数学的帰納法と呼びます。)

回答No.1

zyunyu

簡単にいうのはむずかしいけど場合の数がわかればわかります。
まずは、因数分解の展開の規則性を考えて見ましょう。
たとえば（a+b)(a+b)のばあい
a~2+2ab+b~2　となりますね。これを細かく考えると、
aを2回掛けた物とaとbを掛けた物が2つとbを2回掛けた物を足したものといえます。もっとわかりやすく書くと
aa+ab+ba+bb ですね。同様にして、
(a+b)(a+b)(a+b)ならば、
aaa+aab+abb+baa+bab+bba+bbbですね。
さらに、
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)・・・・(a+b)⇒n個目
ならば　(aのn乗)+(aのn-1乗)×b+(aのn-2乗)×bの2乗・・・(bのn乗)
となります。
何がいいたいかというと、この展開とは、(a+b)からどちらか一つ選んで、n回掛けたものを全通りだして、全部足したものであるということです。実際そうなってますよね。
問題はなぜ、2次式の展開の真ん中の項の係数に2が付くかです。
これはつまり、(a+b)(a+b)からabと同じ組み合わせは、abとbaの2つあるため、それらを足して2になっているということです。
では3次式の展開ならどうでしょう？
abb,aabの組み合わせを考える必要がありますね。当然aaa,bbbは1通りしかないのはわかるでしょう。
ではabbは、bab,bbaとも同じなので展開して合計したときに係数は3
aabも同様に、aba,baaで係数は3になります。
この係数についての関係が、なぜかパスカルの三角形のピラミッド型の数列と一致してるんです。
まあ、敢えてもっと説明するならば、
さっき書いたaab,abなどの組み合わせの通り数について考えればわかると思います。
でも、この内容は、高校数学で勉強する2項定理の範疇なので、このあたりにしておきましょう。

お礼

有難うございます!!これなら分かりそうです。助かりました。