代数の展開について♪

質問

早速ですが、(a＋b)のn乗を展開した時、この各項の係数がパスカルの三角形で求められるのはなぜか?と言う問題に答えてください!なるべく解りやすく、丁寧に教えていただければ幸いです。よろしくお願いします!!

回答No.2

banakona · ベストアンサー

まず、(a＋b)のn乗のａ^r×ｂ^(n-r)の係数から。
これは、ｎ個ならんだ(a＋b)の内、どのｒ個の(a＋b)からａを取り出すか、ということなので、ｎＣ ｒ通りあります。つまり、(a＋b)のn乗のａ^r×ｂ^(n-r)の係数は、ｎＣ ｒ

パスカルの三角形で、ｎＣ ｒは、その上にある(a＋b)の(n-1)乗の係数ｎ-1Ｃ ｒ-1とｎ-1Ｃ ｒの和になっている。つまり

　　ｎＣ ｒ＝ｎ-1Ｃ ｒ-1＋ｎ-1Ｃ ｒ

これを証明すればいい。で、これは有名な恒等式で、左辺のｒ個の内の1個に着目して・・・
　　・これを含めてｒ個取り出す方法の数が、その1個を除くn-1個からr-1を取り出す方法の数に等しい　　つまりｎ-1Ｃ ｒ-1
　　・これを含まずにｒ個取り出す方法の数が、その1個を除くn-1個からrを取り出す方法の数に等しい　　つまりｎ-1Ｃ ｒ

これら２つを加えたのが、ｎ個からr個を取り出す方法の数なので、

　　ｎＣ ｒ＝ｎ-1Ｃ ｒ-1＋ｎ-1Ｃ ｒ

が証明された。

お礼

有難うございました。しかし、私はまだ中学生なのでよく分かりません！もうすこし分かりやすく教えていただけませんでしょうか??

回答No.1

naniwacchi

係数自体は二項定理からも与えられるので、その係数について計算するというのも一手だとは思います。

「パスカルの三角形で」とのことなので、
「三角形の隣り合う数字を足し合わせると、次の項の係数になる」ところについて記します。

(a+b)の(n+1)乗を計算することを考えます。
(a+b)^(n+1)
=(a+b)^n * (a+b)
=(a^n + … + P*a^(n-k)*b^k + Q*a^(n-k-1)*b^(k+1) + … + b^n) * (a+b)

便宜上、係数を P、Qと表しています。
a^(n-k)*b^(k+1)の係数を考えるとき、
・P*a^(n-k)*b^kには、bを乗じたもの
・Q*a^(n-k-1)*b^(k+1)には、aを乗じたもの
が項として与えられます。
よって、a^(n-k)*b^(k+1)の係数は、P+Qとなります。

これはちょうどパスカルの三角形で上の列から係数を足し合わせて、次の列の係数としていることに対応します。