Taylor展開について

質問

f(x)が[a,b]でC[n-1]級で、(a,b)でｎ回微分可能なとき、
f(b)=f(a)+{f'(a)/1!}*(b-a)+{f''(a)/2!}*(b-a)^2+・・・
+{f[n-1](a)/(n-1)!}*(b-a)^(n-1) +R[n]
R[n]={f[n](c)/n!}*(b-a)^n
となるような、ｃがa<c<bで存在する。

これはほかの人の質問にfushigichanさんが書いてくださったものなのですが、C[n-1]級というのはどういうことなんですか？
Taylor展開についてレポートを書かなきゃいけないのですが、講義でやっていなく、教科書もないので、困っています。おすすめの本などありましたら、教えてください。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

ryououさん、こんにちは。fushigichanです。

＞C[n-1]級というのはどういうことなんですか？

平たくいうと、(n-1)回連続微分可能ということです。

y=f(x)の導関数f'(x)が、ある区間Iで微分可能であるとき、
「f(x)は、Iで２回微分可能」といいます。
d/dx{f'(x)}のことを、f(x)の第二次導関数、といいます。

一般に、f(x)の第(n-1)次導関数f^(n-1)(x)←と書くとしますが
が、区間Iで微分可能であるとき、
f(x)は、Iで「n回微分可能である」といい、
d^n/dx^n{f^(n-1)(x)}
を、f(x)の第n次導関数といいます。

（f^(n)(x),d^n/dx^n{f(x)},d^ny/dx^n,D^ny
などで表すことがあります）

f(x)がn回微分可能で、f^(n)(x)←f(x)のn次導関数
が、区間Iで連続であるとき、
f(x)はIでC^n級といいます。
C[n]級と書いたのは、Cのn乗と区別するためでしたが
Cの右肩に小さくnを書きます。

任意の自然数nについて、C^n級であるとき、
任意の自然数→∞にしても成り立つので、
f(x)は、C^∞級である、といいます。

f∈C^n
　　I

f∈C^∞
　　I

などと表したりするそうです。
＞おすすめの本などありましたら、教えてください。

私が持っているのは、
「基礎過程　解析学」水野忠彦　編

です。
高木の解析概論は、財産をなげうってでも買う価値がある！と
私の代数学の先生がおっしゃっていましたが、お目にかかっていません・・（笑）
図書館にでもあれば、のぞいてみてください。
非常に高い本だそうですが・・
ご参考になればうれしいです。

回答No.2

KENZOU

fushigichanさんが答えられていますので詳細にお答えされていますので、以下は補足として読んでください。
○Ｃ[1]級の関数・・・微分可能な関数(f(x))で導関数'(x)が連続な関数のこと。
○Ｃ[2]級の関数・・・2階の導関数f"(x)まで存在し、2階導関数f"(x)が連続な関数のこと。
　　　　　　　：
○Ｃ[n]級の関数・・・n階の導関数d^nf(x)/dx^nまで存在し、ｎ階導関数が連続な関数のこと。
　　　　　　　　：　　　
○Ｃ[∞]級の関数・・・無限回微分関数可能な関数で、且つ連続な関数のこと。
なんでＣと書くのかということですが、これは区間を意味する記号のように使われていますね。但し、正式な記法は
＞C[n]級と書いたのは、Cのn乗と区別するためでしたが
＞Cの右肩に小さくnを書きます。
とfushigichanさんが書かれているとおりですので念のため。
1変数のテイラー展開は書かれているとおりです。2変数の場合は、関数f(x,y)が点(a,b)と少しずらした点(a+h,b+k)の区間でＣ[n]級の関数であるとしますと
f(a+h,b+k)=f(a,b)+(h∂/∂x＋k∂/∂y)f(a,b)
　　　＋(1/2!)(h∂/∂x＋k∂/∂y)^2f(a,b)＋・・・
　　　＋(1/n!)(h∂/∂x＋k∂/∂y)^nf(a,b)＋R[n+1]
と展開できます。ここでR[n+1]は余剰項というもので
R[n+1]={1/(n-1)!}(h∂/∂x＋k∂/∂y)^(n+1)f(a+θh,b+θk)
0<θ<1を満たすθが存在する、ということになります。

＞Taylor展開についてレポートを書かなきゃいけないので
「テイラー展開」でWeb検索をかければレポートのネタくらいはどっさりと集まると思いますよ(←不謹慎な言いかた）。

参考ＵＲＬにはテイラー展開のことが詳しく書かれています。

参考URL：

http://kuva.mis.hiroshima-u.ac.jp/~asano/Kougi/98s/Kisoenshuu1/5-21.html