数学的帰納法

質問

数学的帰納法によって、
ｎ≧２のとき、１＋(１／２＾２)＋(１／３＾２)＋・・・＋(１／ｎ＾２)＜２－(１／ｎ)が成り立つことを証明せよ。

まず、ｎ＝２のとき１＋１／４＜２－(１／２)で成立

ｎ＝ｋのとき１＋(１／２＾２)＋(１／３＾２)＋・・＋(１／ｋ＾２)＜２－(１／ｋ)が成立するとして、ｎ＝ｋ＋１の時も成り立つことを証明する
という所で止まっています。非常に簡単な事をお尋ねしているかも知れませんが、ここから先の証明方法を教えて下さい！！

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、こんにちは。
数学的帰納法は、簡単にいえば、ある式がn=kのときに成立するとすると、
n=k+1のときにも成立することを言えば、
全ての自然数nについて、その式が成立することがいえるという証明法です。
ただし、nは２以上。n=1のときは別に示す必要ありです。

さて、考え方は分かっていらっしゃるので、あとは
n=k+1のときに成立するのかどうか？を調べてみればいいのです。

n≧2のとき、
1+1/2^2+1/3^3+・・・+1/n^2<2-1/n・・・（☆）

（☆）の式はn=kのときに成り立つとすると、
1+1/2^2+・・・+1/k^2<2-1/k・・・（★）

さて、n=k+1のとき、つまり
1+1/2^2+・・・+1/k^2+1/(k+1)^2<2-1/(k+1)・・・（★★）
を証明すればよいのですね。
（★）の式に、両辺1/(k+1)^2を加えても等式は成り立つので
1+1/2^2+・・・+1/k^2+1/(k+1)^2<2-1/k+1+1/(k+1)^2
は成り立っていると言えます。
このことから、（★★）を導くためには、右辺のところで
2-1/k+1+1/(k+1)^2<2-1/(k+1)
がいえれば、いいということになります。
式変形すれば、
1/k-1/(k+1)^2-1/(k+1)>0
がいえればいいですね。
変形すると・・・
1/k-1/(k+1)^2-1/(k+1)=1/k(k+1)^2
ここで、ｋは自然数なのでk>0,(k+1)^2>0
したがって1/k(k+1)^2>0

よって（☆）はn=k+1のときも成立する。
あとは、（☆）がn=1のときも成り立っていることを言えば
数学的帰納法より、すべての自然数nで（☆）が成り立つことが証明されます。

お礼

ｆｕｓｈｉｇｉｃｈａｎさんのお礼欄を使わせていただきます。皆さん丁寧な回答を有難うございました。参考にしながら解き直した所、無事証明できました。

進級してますます数学が難しくなり、分からない所が出てくると思います。これからも沢山質問をすることになりそうです。その際はヒントだけでも頂けると嬉しいです。

回答No.2

kony0

一般的にかくと、
Σ(i=1～n) f(i) < g(n)
を数学的帰納法で示す問題でよくある解法のポイントとしては、
Σ(i=1～n+1) f(i) = {Σ(i=1～n) f(i)} + f(n+1)
であることに注目して、
Σ(i=1～n+1) f(i) = {Σ(i=1～n) f(i)} + f(n+1) < g(n) + f(n+1)
としたあとに、
g(n) + f(n+1) < g(n+1)
を示す、という流れになります。

・・・とかいても、いまいちなにを言っているのかわかりにくいかもしれないので、具体例で。

ｎ＝ｋ＋１の時も成り立つことを証明する、ということは、
１＋(１／２＾２)＋(１／３＾２)＋・・＋(１／ｋ＾２)＋(１／（ｋ＋１）＾２)＜２－(１／（ｋ＋１）)
を示す、ということです。

ここで、左辺を最後の１項とそれ以外にわけて考えると、それ以外のところについて、ｎ＝ｋのときに成り立つとしていますから
｛１＋(１／２＾２)＋(１／３＾２)＋・・＋(１／ｋ＾２)｝＋(１／（ｋ＋１）＾２)
＜｛２－（１／ｋ）｝＋(１／（ｋ＋１）＾２)
と式変形できます。

あとは、
｛２－（１／ｋ）｝＋(１／（ｋ＋１）＾２)＜２－(１／（ｋ＋１）)
であることを示せばよいことになります。

回答No.1

udohn

n=k+1のときからn=kのときの不等式の左辺、右辺を
引いて整理すると
　1/(k+1)^2 < 1/{k(k+1)}
となります。
これを証明すればよのではないですか？