数学的帰納法

質問

1+1/2+1/3+…+1/n＞log(n+1)

この不等式を数学的帰納法で証明する方法を教えて下さい！

回答No.1

ereserve67

一部微積を使います．

(1)n=1のとき

1-log2=loge-log2=log(e/2)>log1=0(∵e=2.78・・・>2)

∴1>log2

よって成り立つ．

(2)n=k(k=1,2,3,・・・)のとき成り立つと仮定する：

1+1/2+1/3+…+1/k＞log(k+1)

両辺に1/(k+1)を加えて

(☆)1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)＞log(k+1)+1/(k+1)

ここで

log(k+1)+1/(k+1)-log(k+2)=1/(k+1)-log{(k+2)/(k+1)}

=1/(k+1)-log{1+1/(k+1)}

ここで

f(x)=x-log(1+x)(|x|<1)

とおくと，

f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)

-1<x<0のときf'(x)<0
0<x<1のときf'(x)>0

よって

f(x)≧f(0)=0（等号はx=0の時に限る）

0<1/(k+1)<1であるから

f(1/(k+1))>0

1/(k+1)-log{1+1/(k+1)}>0

すなわち

(★)log(k+1)+1/(k+1)>log(k+2)

☆，★より

1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)＞log(k+2)

よってn=k+1のときも成り立つ．

(1)(2)よりすべての自然数に対して

1+1/2+1/3+…+1/n＞log(n+1)