供給関数と損益分岐価格（短期の生産関数）問題

質問

大学２年生で経済を学ぶものです。
わからない問題が出てきてしまい
困っております。

問い
生産者の生産関数ｆが
ｆ（L，K）＝L1/3*Ｋ1/3（Lの３分の１乗かけるＫの３分の１乗）
において
資本投入量がＫ＝８で固定されている短期の問題を考える。
またｗ＝２、ｒ＝４とする

（１）生産物の価格をｐ（＞０）とする
短期の供給関数ｘ(p)を求めよ。

（２）損益分岐価格を求めよ。

回答No.1

suna01suna

(1)
数量をxとして、生産関数にK=8を代入すると
f(L,K)=x=L^1/3*K^1/3=2L^1/3
になります。これをLについて整理すると
L=1/8*x^3…(i)
になります。
短期供給曲線は短期限界費用曲線と同じ曲線ですから、短期総費用STCから短期限界費用SMCを求めます。
STC=2L+4K
これに(i)とK=8を代入すると
STC=1/4*x^3+32
STCをxで微分したものがSMCです。
SMC=d(STC)/dx=3/4*x^2
つまり、
p=3/4*x^2
が短期供給曲線です。これをxについて解けば短期供給関数x(p)になります。xは生産量なのでマイナスにはなりませんから、
x=(4/3*p)^1/2
が生産関数x(p)です。
（この問題の場合、短期限界費用曲線と平均可変費用曲線の交点は原点になりますから、場合分けは必要ありません。）

(2)
損益分岐点での価格を求めます。
損益分岐点では短期平均費用SACと短期限界費用SMCが等しくなります。
(1)からSMC=3/4*x^2
SACはSTCを生産量xで割ったものですから
SAC=1/4*x^2+32/x
です。
SMC=SACですから
3/4*x^2=1/4*x^2+32/x
です。
これを解けば
x=4
P=12
損益分岐価格は12になります。

お礼

明快でわかりやすい解答をいただきまして
ありがとうございます。
解法をイメージできるよう
期末テストに向けて学習していきたいと思います。

ありがとうございました☆