生産関数から供給曲線を求める問題

質問

ヘクタール当たりの米収量と肥料投入との関係は
y = 2100 + 25n - 0.1n^2
で与えられる。ただし、yは単収(kg/ha)、nは施肥量(kg/ha)である。
このとき、米の供給曲線を求めなさい。ただし、米価をPy、肥料価格をPnとする。

という問題がわかりません。
供給関数は限界費用関数と等しいはずなので、まずは費用関数を求める必要があるのだと思います。
ただ、費用関数はC = f(y)の形だと思うのですが、この形に式を変形できません。
変形ができれば、MC = Pyの関数が供給曲線を表すのだと思うのですが…。

数学の基礎を忘れているだけなのかもしれませんが、どなたか教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

>ただ、費用関数はC = f(y)の形だと思うのですが、この形に式を変形できません。
変形ができれば、MC = Pyの関数が供給曲線を表すのだと思うのですが…。

変形できますよ、yはnの２次関数だから。ただし、ストレートに変形しようとするより少し工夫したほうが簡単になります。
生産関数
y = 2100 + 25n - 0.1n^2　　　　　　　　　　　(*)
を
0.1n^2 - 25n + (y - 2100) = 0
と変形し、このnについての２次方程式を解くと
n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2　　　　
よって、この式を、±の－のほうをとって（なぜ？）書き換えると
25 - 0.2n = √(1465-0.4y) (**)
となる。
いま、利潤をΠと書くと
Π = Py・y - Pn・n
となるが、Πをyについて最大化するため、両辺をyで微分し、0とおくと
0 = dΠ/dy = Py - Pndn/dy (***)
を得る（合成関数の微分を用いていることに注意）。ところが、生産関数(*)の両辺をｙで微分すると
1 = 25dn/dy - 0.2ndn/dy = (25 - 0.2n)dn/dy
よって
dn/dy = 1/(25 - 0.2n) = 1/√(1465 - 0.4y)
(最後の等号は(**)によることに注意。）これを(***)の右辺のdn/dyへ代入すると
Py = Pn/√(1465 - 0.4y)
を得る。これが逆供給関数である。よって、これをyについて解くと、供給関数
y = 2.5(1465 - Pn^2/Py^2)
を得る。
計算間違いがあるかもしれないので、確かめられたい。

お礼

補足にも応えていただき、ありがとうございました。

補足

ありがとうございます！
自分で計算しても同じようになりました。

n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2　　　　
の±の－のほうだけをとって書き換える理由というのは、あとの生産関数を微分すると同じ(25-0.2n)が出てくるから、ということでしょうか？

繰り返しですみませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

statecollege

>n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2　　　　　　　　(*)　　
の±の－のほうだけをとって書き換える理由というのは、あとの生産関数を微分すると同じ(25-0.2n)が出てくるから、ということでしょうか？

形式的に考えないで、経済的意味を考えてください。生産関数
y = 2100 +25n - 0.1n^2　　　　　(**)
の右辺は２次関数、nを横軸、yを縦軸にとると、(**)で表わされる曲線は放物線で、0< n ≦50まではyは上昇し、n=50で、y=3100の最大値をとり、そのあとは下降する。つまり、n = 50を超えると、肥料の限界生産性は負に転じる。限界生産性が負の領域で肥料を投入するのは経済的に意味がない。別の視点から見るために、2100 < y ≦ 3100に対しては、同一の米収量yを生産する肥料投入量nには２つの値があることに注意しよう。同じ米の収量をえるために、小さい肥料投入量を必要とする技術と大きな投入量を必要とする技術があるのだ。肥料の価格Pnは同一なのだから、大きい投入量を必要とする技術を用いることは非効率的であることはあきらかである。上の式（*)において、±の+のほうは、nとyとが逆方向に動く、限界生産性が負の領域に対応している、したがって利潤を最大化する生産者は実際には決して用いない領域（技術）を示している。

お礼

なるほど！
ご教授いただいたように図を描いて考えたら理解できました。
助かりました、ありがとうございました。