生産関数の問題について質問です

質問

ミクロ経済学の生産関数に関する下の問題が解けずに困っています。
誰かわかりやすく教えていただけないでしょうか？

生産関数をx=y11/2y21/4とする ここでｘは生産物数量y1とy2は生産要素の投入量でいずれも正の数である また生産物価格ｐ＝32 生産要素価格q=(q1q2)=(16,1)とする
(1) 生産の拡張経路をもとめよ
(2) 費用関数をもとめよ
(3)利潤を最大化する生産量と生産要素の投入量を求めよ

回答No.2

noname#101087

>　x = y1^(1/2) * y2^(1/4)です

Cobb - Douglas タイプですね。
生産関数を　x = y1^a * y2^b　と一般化してやってみます。

>(1) 生産の拡張経路をもとめよ

拡張経路は、所定生産 x の y1-y2 グラフで接線傾斜が -q1/q2 になる (y1, y2) を連ねた曲線ですかね。
とりあえず、それを「拡張経路」としてみます。(違っていたらご指摘を)
・y1-y2 グラフ Q = y1^a * y2^b の接線傾斜
　式を変形すると、
　　y2 = {Q^(1/b)}*y1^(-a/b)
　y1 で微分すると、
　　y2' = (-a/b)*{Q^(1/b)}*y1^{-(1+(a/b)}
これが -q1/q2 に等しいとして、
　　q1/q2 = (a/b)*{Q^(1/b)}*y1^{-(1+(a/b)}
Q^(1/b) = y1^(a/b)*y2 であるから、
　　q1/q2 = (a/b)*(y2/y1)
　　y2 = (q1/q2)*(b/a)*y1　　　…(A)
これが「拡張経路」のつもり。y1-y2 上の直線になりました。

>(2) 費用関数をもとめよ

「拡張経路」上の y1, y2 でのコスト和 C が費用関数。
　C = q1*y1 + q2*y2 = q1*{1 + (b/a)}*y1　　　: by (A)
また (A) の関係により、
　x = y1^a * {(q1/q2)*(b/a)*y1}^b = {y1^(a+b)}*{(q1/q2)*(b/a)}^b
　x^{1/(a+b)} = y1* {(q1/q2)*(b/a)}^{b/(a+b)}
　∴ y1 = x^{1/(a+b)}* {(q1/q2)*(b/a)}^{-b/(a+b)}　　　…(B)
この (B) 式を費用関数 C へ代入。
　C = q1*{(a+b/a)}*y1
　　= (a+b)*(q1/a)*[{q2*a/(q1*b)}^{b/(a+b)}]*x^{1/(a+b)}
　　= (a+b)*[(q1/a)^{a/(a+b)}]*{(q2/b)^{b/(a+b)}]*x^{1/(a+b)}　　　(いやぁ！ミスタイプありそう)

>(3)利潤を最大化する生産量と生産要素の投入量を求めよ
>生産物価格ｐ＝32 生産要素価格q=(q1q2)=(16,1)とする

利潤 P = px - C の最大化。
(2) までで出した関数から求められます。
トライしてください。　　　(ありぁー！ランチアワーを超過)

お礼

ありがとうございます、とても助かりました。

回答No.1

noname#101087

まず、ポイントの確認を。

>生産関数をx=y11/2y21/4

　x = y1^(1/2) * y2^(1/4)
　　or
　x = y1^(1/2) + y2^(1/4)
　　？

補足

x = y1^(1/2) * y2^(1/4)です
すみません、わかりにくくて