法8に関するDirichlet指標全体をX(8)とすると,(i) {χ
法8に関するDirichlet指標全体をX(8)とすると,(i) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる,(ii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2
法8に関するDirichlet指標全体をX(8)で表す。f,g∈X(8)に対し掛算fg(a):=f(a)g(a)で定義すると,
X(8)は位数4のAbel群となる事を示せ。そして(X(8),・)～Z_2×Z_2 (但し,～は群同型の記号)である事を示せ。
(証)
(i) χ_0は単位指標,ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号)とすると
{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}はDC(8)の可換な部分群となる(∵略).
そして,
(ii) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8)となる(∵??)
つまり,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=X(8).
この時,{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=<ρ_4,ρ_8>となる事は「生成された群」の定義より直ぐに分かる。
(iii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2(={(0mod2,0mod2),(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2),(1mod2,1mod2)})を示せばよい。
ここで(ii)の(∵??)の箇所,つまり法8に関するDirichlet指標全体は
{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}以外に無い事と
(iii)の箇所で
<ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への全単射写像fをどのように対応させればいいのでしょうか?
