関数ｙ＝ｇ（ｘ）は二階微分可能で、すべてのｘにたいして、|ｇ（ｘ）'

質問

関数ｙ＝ｇ（ｘ）は二階微分可能で、すべてのｘにたいして、|ｇ（ｘ）''|<=M であるとする、
確率変数Xの期待値E｛X｝＝a V｛X}＝ｂ＾２　とするとき、
（１）　｜E[ｇ（X)]ーｇ[E(x)]|<=M b^2/2 であることを示しなさい
（２）　E（X）＝pai/2 V(x)=b^2 のとき　　E（sinx)>=1-b^2/2 であることをしめしなさい
　　　この問題はどう解けばいいですか。ヒント　教えていただけないでしょうか。

回答No.1

Anti-Giants

(1)
E[g(X)]-g(E[X])=E[g(X)-g(E[X])]=E[Y].
gをテイラー展開。
Y=g(X)-g(E[X])=g'(E[X])(X-E[X])+g"(c)(X-E[X])^2/2.
cは適当な数。詳しくはテイラーの定理を調べて。
E[X-E[X]]=0.
E[Y]=g"(c)E[(X-E[X])^2]/2=g"(c)b^2/2.
|E[Y]|≦Mb^2/2.

(2)
問題はE[sin(X)]>1-b^2/2、と解します。
(1)でg(x)=sin(x)とする。
すると、|g"(x)|=|-sin(x)|≦1、よりM=1と定義できる。
(1)より-b^2/2≦E[sin(X)]-sin(π/2)≦b^2/2。
左の不等式（を移項したもの）が求める答え。