三角形の五心について

質問

三角形には、外心、内心、垂心、重心、傍心の五心や、フェルマー点など、三角形の内外にできる特別な点がありますよね。これらはどれも、３つの直線が1点で交わるのですが、この3直線が1点で交わるという証明はどのようにしたらよいか教えてください。特に垂心、重心についてご回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

外心：
外接円の中心。全ての辺の垂直二等分線の交点。
線分ABの垂直二等分線とは、端点Aとからの距離と端点Bからの距離が等しい点の軌跡です。
辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をXとすると
AX=BX (ABの垂直二等分線上の点の満たす条件)
BX=CX (BCの垂直二等分線上の点の満たす条件)
よって、AX=CX　となります。
AX=CX、つまりXは頂点Aからの距離と頂点Cからの距離が等しい。
このことからXは辺ACの垂直二等分線上の点であることがわかる。

内心：
内接円の中心。全ての角の二等分線の交点。
∠Aの二等分線とは、直線ABとの距離が直線ACとの距離に等しい点の軌跡です。
∠Aの二等分線と∠Bの二等分線の交点をXとし、XからAB,BC,CAにおろした垂線の足をL,M,Nとすると
XL=XN (∠Aの二等分線上の点の満たす条件)
XL=XM (∠Bの二等分線上の点の満たす条件)
よってXM=XNとなります。
XM=XN、つまりXと直線BCとの距離とXと直線CAとの距離が等しいことから、Xは∠Cの二等分線上に位置します。

傍心：
直線AB,BC,CAの3直線に接する円のうち内接円を除く3円の中心。
二つの角の外角の二等分瀬と残りの角の二等分線の交点。
証明は内心の証明と全く同様に行えます。

残りの二つはベクトルを使ったほうがわかりやすい。
AB→=b→、AC→c→、b→とc→の内積をb→・c→と表記することにする。
垂心：
それぞれの頂点から向かいあう辺に対しておろした垂線の交点。
AからBCにおろした垂線とBからCBにおろした垂線の交点をXとする。
AX→=xb→+yc→　とおく。
AX→・BC→=0(AX⊥BC)から
(xb→+yc→)・(c→-b→)=-x|b→|^2+y|c→|^2+(-x+y)b→・c→=0

BX→・AC→=0(BX⊥AC)から
(xb→+yc→)・c→=xb→・c→+y|c→|^2=0

この二つの式からx,yをb→,c→で表す。

得られたx,yを使い、CX→・AB→=0を示せばCXがABに垂直なこと、つまりXがCからABにおろした垂線の上にあることが言えます。

重心：
各頂点と重心を結ぶ線分で三角形を3つに分断すると同じ面積になる点。
3本の中線の交点。
垂心の時と同様にAH→=xb→+yc→とおき、HがAから引いた中線上の点である条件からx,yの関係式を求める。(x=y)
同様に、HがBから引いた中線上の点である条件からx,yの関係式を求める。(x+2y=1)
この式からx=1/3,y=1/3となる。
このことからHがCから引いた中線上にあることを示すことができます。

お礼

ありがとうございました。自分でも紙に書いてきちんと検証してみます。参考になりました。