円の五心の定義について

質問

円の五心（内接円の内心、外接円の外心、傍接円の傍心、重心、垂心）の定義とその存在証明をしてください。
例えば、外接円の定義は「3つの線が一点で交わる」ですが、その定義の存在も証明してください。
なるべくかみくだいて教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

五心については、まず存在証明があって、それから「これを○心という」という流れと思っています。
だって、３本の線が１点で交わるってそもそも希有なことでしょ？
基本は、まず２本ひいて交点を作った後、その点を通る「第３の線」を考えて、それが角の２等分線なり垂線なりになっていることを示すわけです。

ということで、内心から簡単に。
△ABCにおいて、角Bと角Cの２等分線をひき、その交点をIとする。
IからAB,BC,CAに垂線をおろし、その足をそれぞれD,E,Fとする。
△BID≡△BIE, △CIE≡△CIF（直角三角形において斜辺と１鋭角が互いに等しい）のでID=IE=IF（対応辺）
よって△AID≡△AIF（直角三角形において斜辺と他の１辺が互いに等しい）から角IAD=角IAF
すなわちAIは角Aの２等分線となり、すなわち△ABCの３本の２等分線は１点で交わる。■（存在証明おわり）
→この点を内心という。（定義）
→Iを中心として半径ID(=IE=IF)の円を描くと、各辺が接線になることは（垂線なので）言えます。（内心に関する定理）

傍心は、はじめに引く線を「外角の」２等分線とすればあとはまったく同じ。

外心も、まず垂直２等分線を２本引いて、交点から第３の辺に垂線を引くと実はそれが垂直２等分線になるというお話。証明中で２等辺三角形が出来ていると思うので、外心の定理もOK。

重心はいろんな証明があるかもしれませんが、
△ABCにおいて、AB,ACの中点をそれぞれM,Nとし、BNとCMの交点をGとする。
GNを２倍に延長してG'という点をとると、四角形AGCG'は平行四辺形（対角線が互いに他を２等分する）ので、AG//G'C
またGはBG'の中点となっている。
AGを延長し、BCとの交点をPとすれば、△BCG'で中点連結定理の逆によりPはBCの中点、すなわちAPは中線となる。■（存在証明おわり）
→この点を重心という。（定義）
→再び△BCG'で中点連結定理を用いると、GP=(1/2)G'C=(1/2)AG（平行四辺形の対辺）（重心の定理）

垂心は垂線を２本ひくと、円が２つ出てきますので、共通弦を引いて円周角で角移動すれば・・・という流れになるのではないでしょうか？

＃オイラー線（外心、重心、垂心は一直線にあって、2:1に内分）とかも必要なんでしょうか・・・？

回答No.1

zuri1000

さすがに五心の一つ一つをここに説明するのは少々つらいし、読むのもつらいでしょうと思うので本を紹介します。

shi-changさんが中学生なのか高校生、大学生、社会人なのか知らないので

中学生の場合　SHORYUDO　新Aクラス中学幾何問題集　P93～　を参照（ただし存在証明なし）　たいていのでかい本屋には置いてあります。今は知らんけど数年前は開成中学校で使用した問題集にもなってた。

高校生の場合　数学A（数(1)だったかな？私旧過程だから知らないけど）の問題集（それなりに分厚いの）になら出てるはずです。ただしこれも存在証明なし。
数式的な高校生的証明でよかったら、ベクトル使えばできるよ。
　載ってたか忘れたけど、科学新興社のモノグラフの幾何学、ベクトルだったかな？に載ってない？　

大学生の場合　古典幾何学という題名の本を大学図書館で片っ端から調べてみ。
　ユークリッド原論の公準（要請）、公理（共通概念）、定義から存在証明ができると思ったけど・・・
まさか現代幾何学で証明するわけじゃないよね？

補足

大学生なのです。。。しかもバリバリ文系の。それなのにレポートの課題になっていて、どうしていいやらわからなかったのでした。数学なんてもうどこかにおいてきちゃったし、授業もわかりにくいし。でもなるほど、古典幾何学というんですね。探してみます。が、果たしてレポートにできるのか？自分の数学力のなさがいやになります。とにかく、アドバイスありがとうございました。