五心については、まず存在証明があって、それから「これを○心という」という流れと思っています。
だって、３本の線が１点で交わるってそもそも希有なことでしょ？
基本は、まず２本ひいて交点を作った後、その点を通る「第３の線」を考えて、それが角の２等分線なり垂線なりになっていることを示すわけです。
ということで、内心から簡単に。
△ABCにおいて、角Bと角Cの２等分線をひき、その交点をIとする。
IからAB,BC,CAに垂線をおろし、その足をそれぞれD,E,Fとする。
△BID≡△BIE, △CIE≡△CIF（直角三角形において斜辺と１鋭角が互いに等しい）のでID=IE=IF（対応辺）
よって△AID≡△AIF（直角三角形において斜辺と他の１辺が互いに等しい）から角IAD=角IAF
すなわちAIは角Aの２等分線となり、すなわち△ABCの３本の２等分線は１点で交わる。■（存在証明おわり）
→この点を内心という。（定義）
→Iを中心として半径ID(=IE=IF)の円を描くと、各辺が接線になることは（垂線なので）言えます。（内心に関する定理）
傍心は、はじめに引く線を「外角の」２等分線とすればあとはまったく同じ。
外心も、まず垂直２等分線を２本引いて、交点から第３の辺に垂線を引くと実はそれが垂直２等分線になるというお話。証明中で２等辺三角形が出来ていると思うので、外心の定理もOK。
重心はいろんな証明があるかもしれませんが、
△ABCにおいて、AB,ACの中点をそれぞれM,Nとし、BNとCMの交点をGとする。
GNを２倍に延長してG'という点をとると、四角形AGCG'は平行四辺形（対角線が互いに他を２等分する）ので、AG//G'C
またGはBG'の中点となっている。
AGを延長し、BCとの交点をPとすれば、△BCG'で中点連結定理の逆によりPはBCの中点、すなわちAPは中線となる。■（存在証明おわり）
→この点を重心という。（定義）
→再び△BCG'で中点連結定理を用いると、GP=(1/2)G'C=(1/2)AG（平行四辺形の対辺）（重心の定理）
垂心は垂線を２本ひくと、円が２つ出てきますので、共通弦を引いて円周角で角移動すれば・・・という流れになるのではないでしょうか？
＃オイラー線（外心、重心、垂心は一直線にあって、2:1に内分）とかも必要なんでしょうか・・・？
補足
大学生なのです。。。しかもバリバリ文系の。それなのにレポートの課題になっていて、どうしていいやらわからなかったのでした。数学なんてもうどこかにおいてきちゃったし、授業もわかりにくいし。でもなるほど、古典幾何学というんですね。探してみます。が、果たしてレポートにできるのか？自分の数学力のなさがいやになります。とにかく、アドバイスありがとうございました。