三角形ABCの重心Gで∠BGCは？

質問

三角形ABCの内部に点Pがあるとします。
∠A、∠B、∠Cと点Pが与えられたとき、∠BPCを求めることを考えます。

点Pが外心のとき、∠BPC＝2∠A
点Pが内心のとき、∠BPC＝90°＋∠A/2
点Pが垂心のとき、∠BPC＝90°－∠A
点Pがフェルマー点のとき、∠BPC＝120°

しかし、
点Pが重心Gのとき、∠BGCを表そうとしたのですが、複雑になりすぎて困ってしまいました。
具体的にはどのような式になるのでしょうか?

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞という美しい式には美しい考え方があると思われますが、

別に美しい考えがあったわけではなく、単に式を整理していったらそうなっただけです。

AB,ACの中点をM,Nとすると、正弦定理より、
BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
CM/sinA=AC/sin∠AMC=AM/sin∠ACM
CM/sinB=BC/sin∠BMC=BM/sin∠BCM
BN/sinA=AB/sin∠ANB=AN/sin∠ABN
BN/sinC=BC/sin∠CNB=CN/sin∠CBN

この式から長さを消去して角度だけにすると、
sinCsin∠BMC=2sinBsin∠ACM=2sinAsin∠BCM
sinBsin∠CNB=2sinCsin∠ABN=2sinAsin∠CBN

さらに、∠BCM=α、∠CBN=βとおくと、
sinCsin(B+α)=2sinBsin(C-α)=2sinAsinα
sinBsin(C+β)=2sinCsin(B-β)=2sinAsinβ

展開して整理すると、cotで表すのが一番簡単になって、
cotα=cotB+2cotC
cotβ=2cotB+cotC

これから、
cot∠BGC=-cot(α+β)=(1-cotαcotβ)/(cotα+cotβ)
を求めると、
cot∠BGC=(cotA-2cotB-2cotC)/3
となります。

＞cos∠BPC=(-5a^2+b^2+c^2) / 2√(2c^2+2a^2-b^2)√(2b^2+2c^2-a^2)

これはちょっと違っています。（cos∠BPCはb,cに関して対称になるはずです）
正しくは、
cos∠BPC=(-5a^2+b^2+c^2) / 2√(2c^2+2a^2-b^2)√(2a^2+2b^2-c^2)

この式からでも同じ式が導かれます。
a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC　を代入すればRも消えて、角度だけの式になります。
これからsinも求めて、cotを計算してみてください。

お礼

まことにご親切ありがとうございます。

一般に、三角形ABCの内部に特別な点Pが与えられたとします。
APとBCとの交点をD、BPとCAとの交点をE、CPとABとの交点をFとします。
それらの図の中の要素、線分長、角度、面積を求めるのは興味深いことと思われます。
その表し方として、元の三角形の辺長a,b,cで表す方法と、角度A,B,Cと外接円の半径Rで表す方法があります。
だいたいはその一方の表示が比較的簡単で、他方は比較的複雑になり、一方を求めることができれば、他方の表示は興味からはずしていました。しかし、比較的複雑と思われた表示も見方を変えることで美しく思えることを今回知りました。

ちなみに、Pが重心のとき、僕の結果では次のようになりました。ただし、S＝△ABCとします。
一方の表示だけですが、ご回答を元に他方の表示もまとめていこうと思います。

AP=(1/3)√(2b^2+2c^2-a^2)
BD=a/2
DP=(1/6)√(2b^2+2c^2-a^2)
AD=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
sin∠DAB=asin(B) / √(2b^2+2c^2-a^2)
sin∠BDA=2csin(B) / √(2b^2+2c^2-a^2)
cos∠BPD=(5c^2-a^2-b^2) / 2√(2c^2+2a^2-b^2)√(2b^2+2c^2-a^2)
cos∠BPC=(-5a^2+b^2+c^2) / 2√(2c^2+2a^2-b^2)√(2a^2+2b^2-c^2)
△PBD=S/6
△PBC=S/3

この種の要素の表示における僕の感想は、
Pがブロカール点のとき、図形的性質から思ったより美しい表示になり、
Pがフェルマー点のとき、計算が大変だが少し汚いながらも1行以内で表示することができ、
Pがジェルゴンヌ点のとき、あまりにも大変かつ複雑すぎて、僕の中では挫折しています。

回答No.2

nag0720

角度の四則計算だけでは無理でしょうね。

三角関数を使って表すと、コタンジェントが一番すっきりしているようです。

cot∠BGC=(cotA-2cotB-2cotC)/3

お礼

すばらしいご解答に感謝いたします。

重心は定義から長さと相性がよく、中線定理があったり、中線を2：1に内分する点が重心だったりします。
長さだと余弦定理などでゴリゴリ計算して、
cos∠BPC=(-5a^2+b^2+c^2) / 2√(2c^2+2a^2-b^2)√(2b^2+2c^2-a^2)
のようになりましたが、美しくないです。

cot∠BGC=(cotA-2cotB-2cotC)/3
という美しい式には美しい考え方があると思われますが、もし可能であれば、概略だけでも教えていただけないでしょうか。

回答No.1

hantk

∠BGC＝180°-（∠B+∠C）/２

ですかね。ベクトルで表すとわかると思います。