三角形の五心

質問

二等辺三角形における内心、外心、重心、垂心の四点は一直線上になるということを証明したいのですが分かりません。
オイラー線というものと関わってくるとのことですが具体的にどのようにすればいいのでしょうか。教えてください、お願いします。
他の掲示板でも同様の質問をしていますが回答が得られてませんので質問しました。よろしくお願いします。

回答No.3

10ken16 · ベストアンサー

失礼、二等辺三角形でしたか。

仮に。AB=ACとするとき、
BCの中点をMとします。

このときAMは、
BCの垂直二等分線であると同時に
∠BACの２等分線でもあります。
（∵△ABM≡△ACM）

内心：角の二等分線上
外心：BCの垂直二等分線上
重心：BCの中点とAを結んだ直線上
垂心：AからBCに降ろした垂線上

にそれぞれ存在し、AMはすべてを満たします。

お礼

10ken16さん、直角三角形の合同からＡＭは∠BACの２等分線でもあることを言えばいいのですね。お答え頂きありがとうございました。

回答No.2

kakkysan

二等辺三角形ＡＢＣで ＡＢ＝ＡＣ とします。ＢＣの垂直２等分線は点Ａを通ることを確かめて下さい。またその垂直２等分線とＢＣの交点ＭはＢＣの中点でもあることに注目します。さらに角ＢＡＭ＝角ＣＡＭ（線分ＡＭは角Ａの２等分線になっている）でもあるわけですね。
（以上要証明）これらをふまえて
内心：各角の２等分線の交点だから、直線ＡＭ上にある
外心：各辺の垂直２等分線の交点だから、直線ＡＭ上にある
以下ご自分で考えて下さい

お礼

kakkysanさん、分かりやすいヒントをありがとうございました。
あとは自分で何とか考えてみたいと思います。

回答No.1

10ken16

ベクトルを使って良いなら、
外心・垂心・重心が直線上になることを示せます。

A(a)，B(b)，C(c)　外心をO(o)とすると、
重心：(a+b+c)/3、
垂心：a+b+c
です。

幾何的にと言われると、
言葉だけでは無理がありますが…。

ちなみに、内心は必ずしも
同一直線上とは限りません。