解答と異なった、ベクトルの証明方法（やや長文です）

質問

重心Ｇ、外心Ｏ、垂心Ｈの△ＡＢＣの頂点の、Ｏに関する位置ベクトルを、それぞれ→a、→b、→cとすると、次のことが成り立つことを証明せよ。
３→ＯＧ＝→a＋→b＋→c、→ＯＨ＝→a＋→b＋→c

という問題があるのですが、解答では→ＯＨの証明の際に、３→ＯＧ＝→a＋→b＋→cの証明の後、逆に、→ＯＦ＝３→ＯＧである点Ｆが垂心であることを示す、という方法をとっています。

このやり方はこのやり方として理解できるのですが、→ＯＨ＝３ＯＧであるという事実を使わず証明する方法を探しています。
もし不可能であれば、不可能である理由も教えていただければ幸いです。

ちなみに、上の→aなどは、ベクトルaということです。
ややこしくてごめんなさい。どうか教えてください。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

＞→ＯＨ＝３ＯＧであるという事実を使わず証明する方法

いや・・・あなたのいう「解答の方法」がまさに
その証明（の一つ）なんですが・・・・
3OGである点は垂心とかに関係なく定義できるわけで，
その点が実は垂心であることを示してるのが
「解答の方法」であり
これによって，OH=3OGであることを示している．
だから，OH=3OGであることは「証明対象」であって
証明の道具にはなってないのです．
ついでにいうと，証明の構造を考えると
垂心の存在を重心の存在に帰着させてるともみなせます．
こういう幾何的なものをベクトルは代数的な計算の変換できるので
便利なわけですね．

さて・・・・

＞なぜ意味がないのでしょうか？
そもそもやってみた？
実際にやってみれば意味が分かるし，いろいろ見えてくる．
＃まだ習ってないだろけども「一次変換」なんかを習うと
＃更に深い構造が見えるかも

これかなり昔なら中学校でやってる定理のベクトル版の証明なので，
逆に「先にOH=3OGをベクトルを使わずに示す」方が
面白かったりするのです．
ちなみに垂心の存在証明にも面白いのが知られてます．

お礼

確かにＯＨ＝３ＯＧは証明すべき式の言い換えだから、「証明対象」なんですね。そう考えると納得がいきます。

連立はかなりやってみたんですけど、結局意味がないことがわかっただけでした(汗)。精進します・・・。

丁寧にどうもありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>なぜ意味がないのでしょうか？
連立とは一般にはそれらを同時に満たす何かを見出すための所作ですね。
今回すでに求めるべき「解」が何であるかはわかっているので意味はない。

ただ解であることを確認するだけさ。

お礼

一晩明けて、証明方法が思いつきました～！
確かに、連立したところで、意味ないですね（汗）

何度も何度もありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>連立すれば証明できるのではと考えたのですが・・・
連立しても意味はない。やりなおし。

補足

なぜ意味がないのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

そういった疑問を覚えたら、まずは自分で証明を考えてみるのがよろしいでしょう。

補足

証明を考えてみたのですが、うまくいきません。
ＡＢ⊥ＣＨ、ＡＣ⊥ＢＨ、ＢＣ⊥ＡＨをベクトルの内積を用いた式で表し、連立すれば証明できるのではと考えたのですが・・・（汗）