広義積分の問題を教えてください。
fとgを区間I=(0,∞)で定義された連続非負関数で、この区間で広義積分可能であるとします。
さらに、
f(x)→0 (x→0)
xg(x)→0 (x→∞)
を満たしているとき、
lim[n→∞] n∫f(x)g(nx)dx = 0 （積分区間はI） が成り立つことを示したいです。
以下のように積分区間を0から1,1から∞にわけて、
それぞれ評価しようとしましたがうまくいきません。
具体的には、
J=n∫f(x)g(nx)dx とおいて、
J= n∫f(x)g(nx)dx + n∫f(x)g(nx)dx （最初の項を(1) ２つめの項を(2)として）
(1)の積分区間は0～１ (2)の積分区間は1～∞
(1)において、g(nx)が非負なので、平均値の定理から、
(1)＝nf(Cn)∫g(nx)dx となるような、nに依存する値 Cn∈[0,1]が存在。
nx=tと置換すれば、
(1)＝f(Cn)∫g(t)dt （積分区間は0からnに変化）
というキレイな形になり、
∫g(t)dt は、gが広義積分可能なことから、有限値に収束。
このままf(Cn)が0に収束してくれれば良いんですが、
Cnは [0,1]上 特に性質なくいろんなところをとりえます。
だから、Cnが単調減少して、仮定の条件をつかって クリア！みたいなことにはならないのです。
根本的に方針が違うのだと思うのですが、 どなたかヒントでもいいので教えてください。
お礼
ご回答ありがとうございます。 察しが悪く、申し訳ありません。そういうことでしたか。 アドバイスありがとうございます。さっそく取り掛かってみます。 どうもありがとうございました。