非線形復元力特性

質問

次の非線形復元力特性を有する系が励振を受けるときの式
x^2+2γx^1+wn^2x+εx^3=Fcos(wt+Φ)
の解をX=A1coswt+A2COS3wtと近似し、応力が外力と同期するとしてすなわちA1＞＞A3として振幅A1を求めよ。ちなみにεは微小とする。
という問題についてです。
これは与えられた近似解をそのまま元の式に代入して計算し、右辺と比較してA1を求めればいいのでしょうか？どなたかご教授お願いします。

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

問題の式は
　　　d^2x/dt^2 + 2*γ*dx/dt + ωn^2*x + ε*x^3 = F*cos( ω*t + Φ )
じゃないですか？だとしたら以下のようにすれば計算できるはずです。

x = A1*cos( ω*t ) + A2*cos( 3*ω*t ) を左辺に代入して、以下のように展開します。
　　左辺 = B1*cos( ω*t ) + B3*cos( 3*ω*t ) + B5*cos( 5*ω*t ) + B7*cos( 7*ω*t ) + B9*cos( 9*ω*t )
　　　　　　+ C1*sin( ω*t ) + C3*sin( 3*ω*t )
右辺は
　　右辺 = F*cos(Φ)*cos( ω*t ) - F*sin(Φ)*sin( ω*t )
と展開できます。問題文に「応力が外力と同期するとして」とあるので、左辺の高次の項は省略できます。つまり
　　B1 = F*cos(Φ)
　　C1 = - F*sin(Φ)
が成り立てばいいはずです。ここで
　　B1 = -A1*[ ω ^2 - ωn^2 + 3/4*A1^2*ε*{ 1 + A2/A1 + 2*(A2/A1)^2 } ]
なのですが、A1 >> A2 なら
　　1 + A2/A1 + 2*(A2/A1)^2 ≒ 1
と近似できるので
　　B1 ≒ -A1*( ω ^2 - ωn^2 + 3/4*A1^2*ε )
となります。一方
　　C1 = 2*A1*γ*ω
ですから、sin^2(Φ) + cos^2(Φ) = 1 の関係を利用して
　　　　( B1/F)^2 + ( C1/F )^2 = 1
から A1 の値が出るのではないでしょうか。

お礼

わかりやすい御説明ありがとうございます！
自分でも計算してみます。