線形代数の二次式の集合

質問

二次式(aベクトル)=a1x^2+a2x+a3・1 についてu1=x^2,u2=x,u3=1とおくと、
(1) a1x^2+a2x+a3・1=0,a1=a2=a3=0より、u1,u2,u3は線形独立である
(2)u1,u2,u3の一次結合c1u1+c2u2+c3u3=c1x^2+c2x+c3で任意の二次式を表すことができる。
とありますが、ここで二つ質問があります。まず(1)についてですがなぜ線形独立と言えるのか分かりません。
また、このように二次式の集合Vを線形空間としてとらえて、どのようなことができるのでしょうか？

回答No.5

jmh · ベストアンサー

> では、このことを行列の積で表すと…
>
いずれにしても、２つの多項式が同一であるとは、その各次の係数がそれぞれ等しいということだと思います。そうして、多項式Ａｘ＾２＋Ｂｘ＋Ｃが「多項式としての０」と等しいならばＡ＝Ｂ＝Ｃ＝０です。この多項式のようなものは「同型を除いて唯一つ」の構造だと思うので、表示方法とかはあまり気にしなくていいと思います。

お礼

すみません。根本的に大きな勘違いをしていたようです。しかし回答者様のおかげでそれに気付くことができました、回答ありがとうございました。

回答No.4

jmh

> ...ｘがどのような 値をとっても...
>
いいえ。むしろ「どのような値もとらなくても」という_気持ち_です。
今、このｘに代入されうる値の範囲は明確ではないです。その必要がないのです。

補足

回答ありがとうございます。では、このことを行列の積で表すと

［x^2 0 0］(1行目の成分)
［0 x 0］(2行目の成分)
［0 0 1］(3行目の成分)

を行列A

[a1 a2 a3](1列目の成分、列ベクトル)

をxベクトルとすると

Ax=[a1x^2 a2x a3・1] (1列目の成分、列ベクトル)=0

と書けるので線形独立と考えればよろしいのでしょうか？そしてこのとき、xのとる値は考えず、ただ単にベクトルとして考えるといった解釈をしました。

回答No.3

jmh

２つの多項式が同一であるとは、その各次の係数がそれぞれ等しいということだと思います。
　Ｘ＝Ａｘ＾２＋Ｂｘ＋Ｃ　と
　Ｙ＝Ｄｘ＾２＋Ｅｘ＋Ｆ　が同じ　
　←→　Ａ＝Ｄ，Ｂ＝Ｅ，Ｃ＝Ｆ

ｕ，ｖ，ｗが３つの線形独立なベクトルだとして、次の２つのベクトルが等しいとは、ｕ，ｖ，ｗの係数がそれぞれ等しいということだと思います。
　Ｘ＝Ａｕ＋Ｂｖ＋Ｃｗ　と
　Ｙ＝Ｄｕ＋Ｅｖ＋Ｆｗ　が等しい
　←→　Ａ＝Ｄ，Ｂ＝Ｅ，Ｃ＝Ｆ

これらは（単に似ているだけではなくて）、同一の概念の異なる表示だと思います。

補足

回答ありがとうございます。自分なりに解釈してみましたが、a1x^2+a2x+a3・1=0が成り立つというのは、あるa1a2a3に対してのa1x^2+a2x+a3・1=0を満たすxの解が存在すると考えるのではなく変数xと考えて、xがどのような 値をとっても a1x^2+a2x+a3・1=0を満たすとすればそれは a1=a2=a3=0の場合しかないということでしょうか？

回答No.2

ramayana

「なぜ線形独立と言えるのか」

a1x^2 + a2x + a3 が多項式として 0 に等しいというのは、a1 = a2 = a3 = 0 ということです。これが、多項式が 0 であることの定義（お約束事）です。

「a1x^2 + a2x + a3 がxの関数として恒等的に 0 か」とか、「a1x^2 + a2x + a3 = 0 を満たす数値 x が存在するか」とかいうことは、考慮する必要がありません。

「線形空間としてとらえて、どのようなことができるのでしょうか」

多項式について、新しい視点が得られます。行列と多項式が関係する多くの理論（固有多項式、終結式など）や、体の代数拡大の理論（ガロア理論など）が、明示的か暗黙的かを問わず、この視点に立って構築されています。

お礼

大変参考になりました。回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。自分なりに解釈してみましたが、a1x^2+a2x+a3・1=0が成り立つというのは、あるa1a2a3に対してのa1x^2+a2x+a3・1=0を満たすxの解が存在すると考えるのではなく変数xと考えて、xがどのような 値をとっても a1x^2+a2x+a3・1=0を満たすとすればそれは a1=a2=a3=0の場合しかないということでしょうか？

回答No.1

jmh

> まず(1)についてですがなぜ線形独立と言えるのか分かりません。
>
（１）は「a1x^2+a2x+a3・1=0,a1=a2=a3=0」が、その理由だと主張しているように思われます。

私は「a1x^2+a2x+a3・1=0 ⇒ a1=a2=a3=0」だと思います。

補足

回答ありがとうございます。早速ですが、線形独立の定義はa1=a2=a3=0のときしか
a1x^2+a2x+a3・1=0が成り立たないときですよね？しかしこの場合、あるa1a2a3の組に対して二次方程式の解xが存在して成り立つ場合があると思うのですが僕の勘違いでしょうか？それにu1=x^2,u2=x,u3=1のベクトルってどんなベクトルなのかよく分かりません。