2自由度系の固有角振動数

質問

独立な変数がθ1とθ2である2自由度系の微小振動の運動方程式を線形近似して、θ''をθの時間の二階微分、a、b、c、dを正の定数として
θ''1 = -a θ1 + bθ2
θ''2 = -c θ2 + dθ1
という式が導かれたとき、この系の固有角振動数ω1とω2は、右辺の第二項を0として求めてもいいのでしょうか？
ダメな場合はどうすればいいのでしょうか？

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

＞右辺の第二項を0として求めてもいいのでしょうか？

とは、

　　θ''1 = -a θ1
　　θ''2 = -c θ2　　　(1)

としても良いか？、という事でしょうか？。もしそうであれば、固有振動数の意味から駄目です。

　固有振動数の基本には、どんな時間の関数も（例えば(θ1(t)，θ2(t))も）sin，cosの波にばらせるよね、って発想があります。

　(θ1(t)，θ2(t))＝α0・C0＋(α1・cos(ω1・t)・C1＋β1・sin(ω1・t)・S1)
　　　　　　　　　　　 ＋(α2・cos(ω2・t)・C2＋β2・sin(ω2・t)・S2)＋・・・　普通はどこまでも続く(^^;)．
　　　　　↑
　　　(2)とする

という姿が最初にある訳です。

　ここでαj，βj（j＝0，1，2，・・・）はスカラーでj次の振幅と言われます。Cj，Sjはベクトル（2次元）でj次の固有モードと呼ばれ、数学的には後述する固有ベクトルです。ωjはもちろんj次の固有角振動数で、固有値です。

　で、今は2自由度なのでj＝1，2しかない事は（慣れれば）すぐわかります。どうやってω1とω2を計算するかですが、(2)の一般項に注目します。(2)の一般項は、

　　(θ1，θ2)＝cos(ω・t)・(D1，D2)　または　＝sin(ω・t)・(D1，D2)　　(3)

の形をしています。(3)を、

　　θ''1 = -a θ1 + bθ2
　　θ''2 = -c θ2 + dθ1　　　(4)

に代入すると、

　　－ω^2・D1 = -a D1 + b D2
　　－ω^2・D2 = -c D2 + d D1　　　(5)

になるのがわかります。(5)を行列形式で整理すると、行列、

　　-a　b
　　-c　d　　　(6)

に対する固有方程式になっていて、ω1^2とω2^2（2つ出てくる）がその固有値です。2つ出てきたωj^2のそれぞれに対して2種類の固有ベクトル(D11，D21)と(D12，D22)を求め、それらで基底変換してやれば(4)は望み通り、

　　Θ''1 = －ω1^2・Θ1
　　Θ''2 = －ω2^2・Θ2　　　(7)

の形になります。(2)が単一波形にばらされた、という訳です。

　以上まとめると、(6)の行列の固有値ω1，ω2を求めればOKよ、という事になります。

お礼

丁寧な回答、解説ありがとうございました。