解けそうで意外と解けなかったので代わりに解いてください（2問）

質問

１．不定積分∫(arctanx)dx　、あるいはその定積分で0≦x≦1の範囲
２．方程式x^x=e

たぶん自分の勘違いか何かだとは思うのですが、どうしても途中で計算が止まってしまうのでおそらく別の解法があると思い投稿しました。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>どうしても途中で計算が止まってしまうので
このサイトでは自力解答の過程を書いて、その行き詰った箇所について質問することがサイトのマナーとなっていることは知ってみえますか？
やったことを書いて頂かないと何処がおかしいかチェックできません。

ヒント
１
y=arctan(x)とおけば,tan(y)=x,dx=dy/{cos(y)}^2
x:[0,1]→y:[0,π/4],0≦tan(y)≦1,1≧cos(y)≧1/√2
∫[0,1](arctanx)dx=∫[0,π/4]y/{cos(y)}^2 dy
=[ytan(y)][0,π/4]-∫[0,π/4]tan(y)dy

∫[0,π/4]tan(y)dy=[-ln{cos(y)}][0,π/4]

２
初等関数の範囲では理論解は求められません。
高校レベルなら、ニュートン法で数値計算で解けばxの近似値が
求められます。
xlog(x)=1
f(x)=xlog(x)-1=0
この式にニュートン法を使う。

大学の数学レベルですが、超越関数のLambert関数W(x)を使えば
x=1/W(1)≒1.7632228
となります。

お礼

丸投げでないことを示すために最後の一文を加えました

正直１は2年くらい前にやった記憶がかすかにある問題で、解けなかったということしか覚えていなかったので

２はおそらく一般解は出ないだろうと考えていたので高校レベルの解答過程は示すまでもないと判断しました

ありがとうございました

回答No.1

mappy0213

問題の丸投げになってますからどういう計算をしたのか
かかれたほうがどこが間違いなのか解答しやすいですね