この積分のやり方を教えてください

質問

高専に通う学生です。
下の積分の解き方がわかりません。
∫((xe^x)/((1+x)^2))dx 実際には分数になってます。
答えは(e^x)/(1+x)となるようですが途中計算が分かりません。

解法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

部分積分をすれば
{-1/(1+x)}'=1/(1+x)^2、(xe^x)'=(1+x)e^xなので、
∫((xe^x)/((1+x)^2))dx
=∫{-1/(1+x)}'(xe^x)dx
=-xe^x/(1+x)+∫(1+x)e^x/(1+x)dx
=-xe^x/(1+x)+∫e^xdx
=-xe^x/(1+x)+e^x+C
=-xe^x/(1+x)+e^x(1+x)/(1+x)+C
=e^x/(1+x)+C

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

Duke_Mike

答えを微分してみれば少しイメージが沸くかと思います。

こういう問題は出来たもん勝ち的な要素が強いと思うんで、

x/(1+x)とかe^x/(1+x)とかxe^x/(1+x)とか色々組み合わせて微分しまくってうまくいくのを探すのがベターかと思います。

分母の項が２乗になっているので分母は(1+x)にしようという所までは最初にいけると思います。e^xが入っているのでそれも微分時に入れないと出てこないから入れてみよう。これを微分すればなんか出てくる。そんな感じです。私はそれでできました。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

info22

e^x=y(>0)と置換して部分積分すれば良いです。
ln(y)を自然対数として
y=e^x,x=ln(y),dx=dy/y
∫((xe^x)/((1+x)^2))dx=∫y*ln(y)/(y*(1+ln(y))^2)dy
=y*ln(y)*(-1/(1+ln(y)))-∫(ln(y)+1)*(-1/(1+ln(y)))dy
=-y*ln(y)/(1+ln(y))+∫1dy
=-y*(ln(y)/(1+ln(y))) +y +C
=y/(l+ln(y) +C
これ↑に y=e^x を代入すれば ln(y)=xなので
答えになります。

お礼

回答ありがとうございました。