裏技数学、不定積分∫e^(3x) sin 2x dx

質問

ある本に、不定積分
∫e^(3x) sin 2x dx
が３０秒で解けると書いてありました。

普通の解法と、裏技の解法を教えていただきたいです。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

I=∫e^(3x) sin 2x dx
=(e^(3x)/3)sin 2x -(2/3)J
J=∫e^(3x) cos 2x dx
=(e^(3x)/3)cos 2x +(2/3)I
I=(e^(3x)/3)sin 2x -(2/3){(e^(3x)/3)cos 2x +(2/3)I}
{1+(4/9)}I=(1/3)e^(3x)sin 2x-(2/9)e^(3x)cos 2x
I=(1/13)e^(3x)(3sin 2x-2cos 2x)+C

多分裏技解法は厳密性は別にして
sin2x=Im(e^(2xi)である事を利用して
K=∫e^(3x+2xi) dx=∫e^(x(3+2i)) dx=e(x(3+2i))/(3+2i)
I=Im(K)=Im{e(x(3+2i))/(3+2i)}=e^(3x)Im{e^(2xi)/(3+2i)}
=(1/13)e^(3x)Im{e^(2xi)(3-2i)}
I=(1/13)e^(3x){3sin(2x)-2cos(2x)}+C

同じ結果がでます。Cは積分定数です。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
複素関数の積分でも、正則であれば、不定積分の概念はあると思います。

回答No.2

tarame

「普通？」の解法は、部分積分法ですよね。
　　Ａ＝∫e^(3x)sin(2x)dx とおいて　
　　Ａ＝[？]－[？]Ａ　という形にもっていきます。
「裏技」？
　Ａ＝e^(3x)sin(2x)，Ｂ＝e^(3x)cos(2x) とおいて
　ＡとＢを微分します。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

ＡとＢの線形結合の、係数を見つけるのですね。