運動エネルギー1/2mv^2の導き方

質問

ある運動している物体に一定の力を与えて制止させるとき、
その間にその一定の力がしたしごとが1/2mv^2となり、
運動エネルギーと定義できるのは導けたのですが、力が
ある位置xの関数で表される場合は、どのような計算を
すればいいのでしょうか？

運動方程式と積分を使って途中まではできたのですが、
定積分の範囲の置き方などがよく分かりません。
かといって不定積分をすると、定数項が残ってしまいます。

よろしくおねがいします。

回答No.1

ryn · ベストアンサー

物体の位置を時間の関数で表し、
　0≦x(t)≦x0
　0≦t≦t0
の範囲で力を受け静止したとします。

このとき、速度と加速度はそれぞれ
　v = x'(t)
　a = x"(t)
なので、物体に働く合力は
　F = mx"(t)
となります。

0≦x(t)≦x0（0≦t≦t0）の間に合力が物体にした仕事は
　W = ∫[0～x0]F dx
　　= ∫[0～t0]{ (mx"(t))*x'(t) }dt
　　= m∫[0～t0]x"x' dt
　　= m[ (1/2)*(x'(t))^2 ]
　　= (m/2)*{ (x'(t0))^2 - (x'(0))^2 }
ここで、
　x'(0) = v0　（初速）
　x'(t0) = 0
なので
　W = -(m/2)*(v0)^2
となります。

あとは、最初に持っていた運動エネルギーをKとして
　K + W = 0
から
　K = (m/2)*(v0)^2
となります。

お礼

明快な解説ありがとうございました。
よくわかりました！