同値関係について教えてください。

質問

同値関係について質問です。

『X＝{(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦1}において、
点(0,y)と点(2,y)(0≦y≦1)を同一視し、
点(x,0)と点(x,1)(0≦x≦2)を同一視して得られる空間』
というのは
『X上の同値関係～として
(a,b),(c,d)∈Xについて
(a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d)
または
{a,c}={0,2}かつb=d
または
a=cかつ{b,d}={0,1}
と定義したとき,同値関係～によるXの商位相』
と書き換える事が出来るのではないか？と考えたのですが、上のように決めた関係～は推移律を満たさないので同値関係になりませんでした。

そこで、質問なのですが、この場合どのように同値関係を定義すればよいのでしょうか？
『(a,b),(c,d)∈Xについて
(a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d)
または
{a,c}={0,2}かつb=d
または
a=cかつ{b,d}={0,1}』 のような表し方で書いた場合

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

トーラス『X＝{(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦1}において、
点(0,y)と点(2,y)(0≦y≦1)を同一視し、
点(x,0)と点(x,1)(0≦x≦2)を同一視して得られる空間』
を商空間として表せば、たとえば
「Z＝{(x,y)|x∈R, y∈R}において同値関係～を
(x,y)～(x+2,y+1)
と定義したとき、～によるXの商空間」

回答No.2

stomachman

ANo.1の式のコピペ失敗しましたんで訂正。

　(x,y)～(x+2,y+1)～(x,y+1)～(x+2,y)

つまり
(x,y)～(x,y+1)
(x,y)～(x+2,y)
です。